\(BĐT\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y+z}+1\right)+\left(\dfrac{y}{x+z}+1\right)+\left(\dfrac{z}{x+y}+1\right)\ge\dfrac{3}{2}+3=\dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge9\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
Nhân vế theo vế 2 BĐT ta được
\(\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge3\cdot3\sqrt[3]{1}=9\)
Do đó \(\left(1\right)\) luôn đúng
Vậy ta được đpcm
Phải có thêm dữ kiện x,y,z > 0 nữa nhé.
Áp dụng BĐT C - S dạng Engel, ta có:
Cycma(x/(y + z)) = cycma(x^2/(xy + xz)) >= cycma(x)^2/(2cycma(xy)) >= cycma(x)^2/((2cycma(x)^2)/3) = 3/2 (đpcm)
đây là BĐT Nesbit cho 3 số thực dương nên thiếu điều kiện x,y,z\(\in R\)*
