Question

Chứng minh các bất đẳng thức sau với x, y, z > 0

a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)

c) \(x^4+y^4\ge\dfrac{\left(x+y\right)^4}{8}\)

e) \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

f) \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)

Answer 1

a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)

b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)

\(\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow3x^3+3y^3\ge3x^2y+3xy^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2\left(x-y\right)-3y^2\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\left(đúng\right)\)

 

Answer 2

a: Ta có: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Answer 3

Answer 4

Answer 5

c. Áp dụng kết quả phần a ta có:

$x^4+y^4\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}$

$x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}$

$\Rightarrow x^4+y^4\geq \frac{1}{2}[\frac{(x+y)^2}{2}]^2=\frac{(x+y)^4}{8}$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y$

e.

BĐT $\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2$

$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)\geq 0$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0$ (luôn đúng với mọi $x,y,z>0$

Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$