a) \(\Delta=\left[-\left(m+3\right)\right]^2-4.1.m\\ =m^2+6m+9-4m\\ =m^2+2m+9\\ =\left(m+1\right)^2+8>0\forall m\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+3\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

Mà \(x_1^2+x_2^2=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6\\ \Leftrightarrow\left(m+3\right)^2-2m=6\\ \Leftrightarrow m^2+6m+9-2m=6\\ \Leftrightarrow m^2+4m+3=0\\ \Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m+3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m\in\left\{-1;-3\right\}\) là các giá trị cần tìm.

a, Ta có: \(\Delta=\left[-\left(m+3\right)\right]^2-4.1.m\)

                   \(=m^2+6m+9-4m\)

                   \(=m^2+2m+9\)

                   \(=m^2+2m+1+8\)

                   \(=\left(m+1\right)^2+8\)

Lại có:  \(\left(m+1\right)^2\ge0\forall m\Rightarrow\left(m+1\right)^2+8\ge8\forall m\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiêm phân biệt 

b, Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+3\\x_1+x_2=m\end{matrix}\right.\)

Theo bài ra:

 \(x_1^2+x_2^2=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6\)

\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)^2-2m=6\)

\(\Leftrightarrow m^2+6m+9-2m=6\)

\(\Leftrightarrow m^2+6m+9-2m-6=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m+3=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+m+3m+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2+m\right)+\left(3m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(m+1\right)+3\left(m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m+1=0\\m+3=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy với m=-1 hoặc m=-3 thì phương trinh trên thỏa mãn hệ thức 

Ta có: \(\Delta'=2m^2+4>0\forall m\)

Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-m^2-4\end{matrix}\right.\)

Mặt khác: \(x_1^2+x_2^2=20\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=20\)

\(\Rightarrow4m^2+2m^2-12=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2\\m=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

  Vậy ...

a, \(\Delta'=\left(-m\right)^2-1\left(-1\right)=m^2+1>0\)

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂

b, Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

\(x^2_1+x^2_2-x_1x_2=7\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=7\\ \Leftrightarrow\left(2m\right)^2-3\left(-1\right)=7\\ \Leftrightarrow4m^2+3=7\\ \Leftrightarrow4m^2=4\\ \Leftrightarrow m^2=1\\ \Leftrightarrow m=\pm1\)

PT $(*)$ là PT bậc nhất ẩn $x$ thì làm sao mà có $x_1,x_2$ được hả bạn?

PT cuối cũng bị lỗi.

Bạn xem lại đề!

Lời giải:

a) 

Ta có: $\Delta'=m^2-(2m-2)=m^2-2m+2=(m-1)^2+1>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

Do đó pt luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

b) 

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-2m\\ x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)

Để $x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=4$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-5x_1x_2=4$

$\Leftrightarrow (-2m)^2-5(2m-2)=4$

$\Leftrightarrow 4m^2-10m+6=0$

$\Leftrightarrow 2m^2-5m+3=0$

$\Leftrightarrow (m-1)(2m-3)=0$

$\Rightarrow m=1$ hoặc $m=\frac{3}{2}$ (đều thỏa mãn)

a: Δ=(2m+2)^2-4(m-2)

=4m^2+8m+4-4m+8

=4m^2+4m+12

=(2m+1)^2+11>=11>0

=>Phương trình luôn cóhai nghiệm phân biệt

b: x1^2+2(m+1)x2-5m+2

=x1^2+x2(x1+x2)-4m-m+2

=x1^2+x1x2+x2^2-5m+2

=(x1+x2)^2-2x1x2+x1x2-5m+2

=(2m+2)^2-(m-2)-5m+2

=4m^2+8m+4-m+2-5m+2

=4m^2+2m+8

=4(m^2+1/2m+2)

=4(m^2+2*m*1/4+1/16+31/16)

=4(m+1/4)^2+31/4>=31/4

Dấu = xảy ra khi m=-1/4

a. Với \(m=-5\) pt trở thành:

\(x^2+8x-9=0\)

\(a+b+c=1+8-9=0\) nên pt có 2 nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=1\\x_2=-9\end{matrix}\right.\)

b. Ta có:

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m-4\right)=m^2+m+5=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{19}{4}>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Pt đã cho luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

a: a=1; b=2m; c=-1

Vì a*c<0 nên (2) luôn có hai nghiệm phân biệt

b: \(x_1^2+x_2^2-x_1x_2=7\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=7\)

=>\(\left(-2m\right)^2-3\cdot\left(-1\right)=7\)

=>4m^2=7-3=4

=>m^2=1

=>m=1 hoặc m=-1

a: Δ=(-2m)^2-4(m-2)

=4m^2-4m+8=(2m-1)^2+7>=7>0

=>PT luôn có hai nghiệm phân biệt

b: x1^2+x2^2-6x1x2

=(x1+x2)^2-8x1x2

=(2m)^2-8(m-2)

=4m^2-8m+16=(2m-2)^2+8>=8

=>24/(2m-2)^2+8<=3

=>M>=-3

Dấu = xảy ra khi m=1