cho pt \(x^2-2mx+m-2=0\)
a) C/m pt luôn có 2 nghiệm phân biệt
b) gọi x1,x2 là 2 nghiệm của pt. tìm m để:
\(M=\frac{-24}{x_1_{ }^2+x_2^2-6x_1x_2}\)đạt giá trị nhỏ nhất
Cho pt : \(x^2-2mx+m-2=0\)
a ) c/m pt luôn luôn có 2 \(n_o\) phân biệt với \(\forall m\)
b ) Gọi x1 , x2 là no của pt . Tìm m để bt \(M=\dfrac{-24}{x^2_1+x^2_2-6.x_1.x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất
a) Ta có : \(\Delta"=\left(-m\right)^2-\left(m-2\right)=m^2-m+2=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\forall m\)
=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
b) Hệ thức Viete :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(M=\dfrac{-24}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}=\dfrac{-24}{\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}\)
\(=\dfrac{-24}{\left(2m\right)^2-8.\left(m-2\right)}=\dfrac{-6}{m^2-2m+4+=}=\dfrac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\)
Do (m - 1)2 + 3 \(\ge3\forall m\)
nên \(\dfrac{6}{\left(m-1\right)^2+3}\le2\Leftrightarrow M=\dfrac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\ge-2\)
Vậy Mmin = -2 <=> m = 1
Cho phương trình x2 - 2mx + m - 2 = 0 ( m là tham số )
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức
\(M=\dfrac{-24}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất
a: Δ=(-2m)^2-4(m-2)
=4m^2-4m+8=(2m-1)^2+7>=7>0
=>PT luôn có hai nghiệm phân biệt
b: x1^2+x2^2-6x1x2
=(x1+x2)^2-8x1x2
=(2m)^2-8(m-2)
=4m^2-8m+16=(2m-2)^2+8>=8
=>24/(2m-2)^2+8<=3
=>M>=-3
Dấu = xảy ra khi m=1
Cho phương trình \(x^2-mx+m-1=0\left(1\right)\)
a, Giải phương trình (1) khi m = -1
b, Chứng minh rằng pt (1) luôn có nghiệm mọi m
c, Định m để pt (1) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó
d, Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của pt (1)
Đặt A=\(x_1^2+x_2^2-6x_1x_2\)
+ Chứng minh rằng A=\(m^2-8m+8\)
+ Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất
cho pt bậc hai ẩn x : \(2x^2+2mx+m^2-2=0\)
a) xác định m để pt có 2 nghiệm.
b) gọi x1,x2 là nghiệm của pt trên tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A=\(\left|2x_1x_2+x_1+x_2-4\right|\)
a, Phương trình có hai nghiệm khi
\(\Delta'=m^2-2\left(m^2-2\right)=-m^2+4\ge0\Leftrightarrow-2\le m\le2\)
b, Theo định lí Viet \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=\dfrac{m^2-2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(A=\left|2x_1x_2+x_1+x_2-4\right|\)
\(=\left|m^2-2-m-4\right|\)
\(=\left|\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}\right|\)
\(=\left|-\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{25}{4}\right|\le\dfrac{25}{4}\)
\(maxA=\dfrac{25}{4}\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\)
cho pt: x^2-3x+2m+2=0(m là tham số) a)giải pt khi m=0 b)tìm m để pt có nghiệm c) gọi x1,x2 là 2 nghiệm của PT.Tìm m để A=x1^2+x2^2+x1^2.x2^2 đạt giá trị nhỏ nhất,tìm giá trị nhỏ nhất đó
cho pt: \(x^2-2mx+m^2-m+1=0\) (x là ẩn số). Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) sao cho biểu thức A=\(x_1^3+x_2^3-2x_1-2x_2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
\(\Delta'=m-1\ge0\Rightarrow m\ge1\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-m+1\end{matrix}\right.\)
\(A=x_1^3+x_2^3-2\left(x_1+x_2\right)\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-2\left(x_1+x_2\right)\)
\(=8m^3-3.2m\left(m^2-m+1\right)-4m\)
\(=2m^3+6m^2-10m\)
\(=2\left(m^3+3m^2-5m+1\right)-2\)
\(=2\left(m-1\right)\left[\left(m^2-1\right)+4m\right]-2\)
Do \(m\ge1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1\ge0\\\left(m^2-1\right)+4m>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(m-1\right)\left[\left(m^2-1\right)+4m\right]\ge0\)
\(\Rightarrow A\ge-2\)
\(A_{min}=-2\) khi \(m=1\)
Cho pt : x^2+(m+2)x+m-1=0. chứng minh rằng pt đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1;x2 với mọi m. Khi đó, tìm m để biểu thức A=x1^2+x2^2-3x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có:
\(\Delta=\left(m+2\right)^2-4\left(m-1\right)=m^2+4m+4-4m+4=m^2+8>0\left(\forall m\right)\)
=> PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi GT của m
Theo hệ thức viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-m-2\\x_1x_2=m-1\end{cases}}\)
Thay vào A ta được:
\(A=x_1^2+x_2^2-3x_1x_2\)
\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2\)
\(A=\left(-m-2\right)^2-5\left(m-1\right)\)
\(A=m^2+4m+4-5m+5=m^2-m+9\)
\(A=\left(m^2-m+\frac{1}{4}\right)+\frac{35}{4}\)
\(A=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{35}{4}\ge\frac{35}{4}\left(\forall m\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(m=\frac{1}{2}\)
Vậy \(Min_A=\frac{35}{4}\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)
Δ = b2 - 4ac = ( m + 2 )2 - 4( m - 1 ) = m2 + 4m + 4 - 4m + 4 = m2 + 8 ≥ 8 > 0 ∀ m
hay phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Theo hệ thức Viète ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-m-2\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1\end{cases}}\)
Khi đó : A = x12 + x22 - 3x1x2 = ( x1 + x2 )2 - 5x1x2
= ( -m - 2 )2 - 5( m - 1 ) = m2 + 4m + 4 - 5m + 5
= m2 - m + 9 = ( m - 1/2 )2 + 35/4 ≥ 35/4 ∀ m
Dấu "=" xảy ra <=> m = 1/2. Vậy MinA = 35/4
Cho PT: x2 - 2(m+1)x + 2m - 3 = 0
Tìm các giá trị của m để PT có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn biểu thức \(P=\left|\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Có\(\Delta=4\left(m+1\right)^2-4\left(2m-3\right)=4m^2+16>0\forall m\)
=> pt luôn có hai nghiệm pb
Theo viet có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)
Có :\(P^2=\left(\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right)^2=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)
\(=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{4\left(m+1\right)^2-4\left(2m-3\right)}=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{4m^2+16}\)\(\ge0\)
\(\Rightarrow P\ge0\)
Dấu = xảy ra khi m=-1
Cho pt x^2-3x+2m+2=0 a)giải pt khi m=0 b)Tìm m để pt có nghiệm c)Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của pt .Tìm m để A=x1^2+x2^2+x1^2.x2^2 đạt giá trị nhỏ nhất ,tìm giá trị nhỏ nhất đó
Phương trình: \(x^2-3x+2m+2=0\left(1\right)\)
a/ Thay m=0 vào phương trình (1) ta được;
\(x^2-3x+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy khi m=0 thì phương trình (1) có \(S=\left\{2;1\right\}\)
b/ Xét phương trình (1) có:
\(\Delta=\left(-3\right)^2-4.1.\left(2m+2\right)\)
= \(9-8m-8=1-8m\)
Để phương trình (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow1-8m\ge0\Leftrightarrow m\le\dfrac{1}{8}\)
Vậy để phương trình (1) có nghiệm thì m\(\le\dfrac{1}{8}\)
c/ Xét phương trình (1), áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1.x_2=2m+2\end{matrix}\right.\)
Theo đề bài ta có:
A=\(x_1^2+x_2^2+x_1^2.x_2^2\)
= \(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2+x_1^2x_2^2\)
= \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+\left(x_1x_2\right)^2\)
= \(3^2-2\left(2m+2\right)+\left(2m+2\right)^2\)
= \(9-4m-4+4m^2+8m+4\)
= \(4m^2+4m+9\)
= \(4m^2+4m+1+8=\left(2m+1\right)^2+8\)
Ta luôn có:
\(\left(2m+1\right)^2\ge0\) với mọi m
\(\Rightarrow\left(2m+1\right)^2+8\ge8\) với mọi m
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2=0\Leftrightarrow2m+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{-1}{2}\) (tmđk)
Vậy GTNN của A=\(x_1^2+x_2^2+x_1^2x_2^2\) là 8 khi m=\(\dfrac{-1}{2}\)