cho 4 số thức a,b,c,d thõa mãn các điều kiện \(a\ne0\) và 4a+2b+c+d=0. chứng minh \(b^2\ge4ac+4ad\)
cho 4 số thức a,b,c,d thõa mãn các điều kiện \(a\ne0\) và 4a+2b+c+d=0. chứng minh \(b^2\ge4ac+4ad\)
Em sử dụng bất đẳng thức \((a+b)^2 \ge 4ab \) như sau nhé:
\(4a+2b+c+d=0\\ \Leftrightarrow -2b=4a+c+d\\ \Rightarrow 4b^2=(4a+c+d)^2 \ge 4.4a.(c+d)\\ \Rightarrow b^2\ge 4ac+4ad\)
Dấu bằng có khi chỉ khi \(4a=-b=c+d\)
cho x,y>0 và x+y\(\le\)1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:A=\(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{5}{xy}\)
\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{9}{2xy}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{18}{\left(x+y\right)^2}=22\)
cho phương trình \(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m=0\) (1), với m là tham số
a) giải phương trình (1) với m=0 => cái này tự giải đc
b) chứng minh với mọi giá trị cuarm phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
c) giả sử \(x_1,x_2\left(x_1< x_2\right)\) là 2 nghiệm của phương trình (1), chứng minh khi m thay đổi thì điểm \(A\left(x_1;x_2\right)\) nằm trên 1 đường thẳng cố định
dễ thấy \(\Delta=1\Rightarrow\)pt luôn có 2 no pbiệt
vì \(x_1>x_2\)
\(\Rightarrow x_1=\dfrac{2m+1-\sqrt{\Delta}}{2}=m;x_2=\dfrac{2m+1+\sqrt{\Delta}}{2}=m+1\)
\(\Rightarrow x_1=x_2+1\)
với m thay đổi thì điểm a luôn di chuyển trên đths y=x+1 (y=x1;x=x2)
cho x,y thoả mãn: x,y>0.x+y=1
tìm Min A= \(\dfrac{3}{x^3+y^3}+\dfrac{4}{xy}\)
c/m các nghiệm của phương trình x2-10x-m2=0 là nghịch đảo các nghiệm của phương trình m2x2+10x-1=0. trường hợp m\(\ne\)0
Điều kiện m khác 0
\(PT\left(1\right)\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2=-m^2\left(1\right)\\x_1+x_2=10\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(PT\left(2\right)\left\{{}\begin{matrix}x_3x_4=-\dfrac{1}{m^2}\left(3\right)\\x_3+x_4=-\dfrac{10}{m^2}\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
với m khác 0 => x1, x2 khác 0
Lấy (2) chia (1)
\(\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{10}{-m^2}\Leftrightarrow\dfrac{x_1}{x_1x_2}+\dfrac{x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_1}=-\dfrac{-10}{m^2}\)(5)
từ (1) \(m\ne0\Leftrightarrow\dfrac{1}{x_1.x_2}=-\dfrac{1}{m^2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{x_1}.\dfrac{1}{x_2}=-\dfrac{1}{m^2}\)(6)
Từ (3) (4)(5)(6)
\(\left\{{}\begin{matrix}x_3.x_4=\dfrac{1}{x_1}.\dfrac{1}{x_2}\\x_3.+x_4=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\end{matrix}\right.\) => dpcm
với m=0 => (1) có nghiệm x=0 sao nghịch đảo được xem lại không c/m được
cho x và y là hai số thỏa mãn : x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 6 và 2x + y ≤ 4
tìm GTNN và GTLN của biểu thức K=x2 - 2x - y
GPT \(7x^2+7x=\sqrt{\dfrac{4x+9}{28}}\)
mik tự trả lời nhé (đương nhiên ko tick nha giải cho mn hỉu thoy =))
C1: đặt \(\sqrt{\dfrac{4x+9}{28}}=y+\dfrac{1}{2}\)
=>\(\dfrac{4x+9}{28}=y^2+y+\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow7y^2+7y=x+\dfrac{1}{2}\)
kết hợp vs pt đầu ta được hpt đối xứng \(\left\{{}\begin{matrix}7x^2+7x=y+\dfrac{1}{2}\\7y^2+7y=x+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
(mời @Neet giải tip nha mỏi tay )
C2:
pt <=> \(28\left(49x^4+98x^3+49x^2\right)=4x+9\)
<=>\(\left(14x^2+12x-1\right)\left(98x^2+112x+9\right)=0\)
=> do yourself !!!
Cho pt x^2-3x+2m+2=0 a)giải pt khi m=0 b)Tìm m để pt có nghiệm c)Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của pt .Tìm m để A=x1^2+x2^2+x1^2.x2^2 đạt giá trị nhỏ nhất ,tìm giá trị nhỏ nhất đó
Phương trình: \(x^2-3x+2m+2=0\left(1\right)\)
a/ Thay m=0 vào phương trình (1) ta được;
\(x^2-3x+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy khi m=0 thì phương trình (1) có \(S=\left\{2;1\right\}\)
b/ Xét phương trình (1) có:
\(\Delta=\left(-3\right)^2-4.1.\left(2m+2\right)\)
= \(9-8m-8=1-8m\)
Để phương trình (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow1-8m\ge0\Leftrightarrow m\le\dfrac{1}{8}\)
Vậy để phương trình (1) có nghiệm thì m\(\le\dfrac{1}{8}\)
c/ Xét phương trình (1), áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1.x_2=2m+2\end{matrix}\right.\)
Theo đề bài ta có:
A=\(x_1^2+x_2^2+x_1^2.x_2^2\)
= \(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2+x_1^2x_2^2\)
= \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+\left(x_1x_2\right)^2\)
= \(3^2-2\left(2m+2\right)+\left(2m+2\right)^2\)
= \(9-4m-4+4m^2+8m+4\)
= \(4m^2+4m+9\)
= \(4m^2+4m+1+8=\left(2m+1\right)^2+8\)
Ta luôn có:
\(\left(2m+1\right)^2\ge0\) với mọi m
\(\Rightarrow\left(2m+1\right)^2+8\ge8\) với mọi m
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2=0\Leftrightarrow2m+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{-1}{2}\) (tmđk)
Vậy GTNN của A=\(x_1^2+x_2^2+x_1^2x_2^2\) là 8 khi m=\(\dfrac{-1}{2}\)
Giải pt: \(x^4-4x^3-2x^2+4x+1=0\)
\(x^4-4x^3-2x^2+4x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-4x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\\x=2-\sqrt{5}\\x=2+\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
Giải hệ pt:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3xy+2y^2=0\\2x^2-3xy+5=0\end{matrix}\right.\)
Xét \(x^2-3xy+y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-2y\right)=0\)
Đơn giản rồi nhé