b) Ta có: M = 3^{n + 2} + 2^{n + 3} + 3ⁿ + 2^{n + 1} = 3ⁿ . 3² + 3ⁿ + 2ⁿ . 2³ + 2ⁿ . 2 = 3ⁿ . (3² + 1) + 2ⁿ . (2³ + 2) = 3ⁿ . 10 + 2ⁿ . 10 = (3ⁿ + 2ⁿ) . 10 \(⋮\) 10.

Vậy...

a: n chia5 dư 1

n chia 8 dư 4

Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}n-1\in\left\{0;5;10;...\right\}\\n-4\in\left\{0;8;16;....\right\}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow n=41\)

b: \(M=3^n\left(3^2+1\right)+2^n\left(2^3+2^2\right)=3^n\cdot10+2^n\cdot10⋮10\)

\(4n-5⋮2n-1\)

\(\Rightarrow4n-2-3⋮2n-1\)

\(\Rightarrow2\left(2n-1\right)-3⋮2n-1\)

\(\Rightarrow3⋮2n-1\)

\(\Rightarrow2n-1\inƯ\left(3\right)\)

\(Ư\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2n-1=1\Rightarrow2n=2\Rightarrow n=1\\2n-1=-1\Rightarrow2n=0\Rightarrow n=0\\2n-1=3\Rightarrow2n=4\Rightarrow n=2\\2n-1=-3\Rightarrow2n=-2\Rightarrow n=-1\end{matrix}\right.\)

2) \(A=\dfrac{9n+7}{3n+4}=\dfrac{9n+12-5}{3n+4}=\dfrac{9n+12}{3n+4}-\dfrac{5}{3n+4}=\dfrac{3\left(3n+4\right)}{3n+4}-\dfrac{5}{3n+4}=3-\dfrac{5}{3n+4}\)

\(\Rightarrow5⋮3n+4\)

\(\Rightarrow3n+4\inƯ\left(5\right)\)

\(Ư\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

\(MIN_A\Rightarrow MAX_{3n+4}\)

\(\Rightarrow3n+4=-1\Rightarrow3n=-5\Rightarrow n=-\dfrac{5}{3}\)

Tương tự

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3n+4=1\Rightarrow3n=-3\Rightarrow n=-1\\3n+4=-1\Rightarrow3n=-5\Rightarrow n=-\dfrac{5}{3}\\3n+4=5\Rightarrow3n=1\Rightarrow n=\dfrac{1}{3}\\3n+4=-5\Rightarrow3n=-9\Rightarrow n=-3\end{matrix}\right.\)

b) \(MIN_A\Rightarrow A\in Z^-\Rightarrow3n+4\in Z^-\)

\(A=\dfrac{2n+5}{n+2}=\dfrac{2n+4+1}{n+2}=2+\dfrac{1}{n+2}\)

1)Để A là phân số thì \(\dfrac{1}{n+2}\)phải là phân số <=> 1 không chia hết cho n+2 hay n+2 \(\ne\) Ư(1)

Mà Ư(1)={1;-1}

+) \(n+2\ne1\Leftrightarrow n\ne-1\)

+)\(n+2\ne-1\Leftrightarrow n\ne-3\)

Vậy n khác -1 và -3 thì A là phân số

2)Để A là nguyên thì \(\dfrac{1}{n+2}\)phải là số nguyên <=> 1 chia hết cho n+2 hay n+2 \(\in\) Ư(1)

Mà Ư(1)={1;-1}

+) n+2=1 <=> n=-1

+)n+2=-1 <=> n=-3

Vậy n={-1;-3} thì A nguyên

3) Gọi d là ƯCLN của 2n+5 và n+2

=> n+2 chia hết cho d

<=>2n+4 chia hết cho d

Mà 2n+5 chia hết cho d

=>(2n+5)-(2n+4) chia hết cho d

hay 1 chia hết cho d

<=> d=1

<=> A=\(\dfrac{2n+5}{n+2}\) là phân số tối giản(ĐPCM)

Bài 6:

Gọi 2 số nguyên đó lần lượt là a và b \(\left(a,b\in Z\right)\)

Ta có:

\(ab=a-b\Leftrightarrow ab+b=a\)

\(\Leftrightarrow b\left(a+1\right)=a\Leftrightarrow b=\frac{a}{a+1}\left(a+1\ne0\Leftrightarrow a\ne-1\right)\)

Lại có: \(\frac{a}{a+1}=\frac{a+1-1}{a+1}=\frac{a+1}{a+1}-\frac{1}{a+1}=1-\frac{1}{a+1}\)

\(\Rightarrow1⋮a+1\Rightarrow a+1\inƯ\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

\(\Rightarrow a\in\left\{0;-2\right\}\) (thỏa mãn)

*)Xét \(a=0\)\(\Leftrightarrow b=\frac{a}{a+1}=\frac{0}{0+1}=0\) (thỏa mãn)

*)Xét \(a=-2\)\(\Leftrightarrow b=\frac{a}{a+1}=\frac{-2}{-2+1}=2\) (thỏa mãn)

Bài1: Tìm số nguyên n, biết

a) n - 4 chia hết cho n -1 (n khác 1)

\(\frac{n-4}{n-1}=\frac{n-1-3}{n-1}=1-\frac{3}{n-1}\)

Để \(\frac{n-4}{n-1}\in Z\) thì \(n-1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\Leftrightarrow n\in\left\{0;2:-2;4\right\}\)

b) 2n là bội của n - 2 (n khác 2)

Để \(2n⋮n-2\) thì \(n-2\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\Leftrightarrow n\in\left\{1;3;0;4\right\}\)

Ta có :

\(a< b\Rightarrow2a< a+b\) \(\left(1\right)\)

\(c< d\Rightarrow2c< c+d\) \(\left(2\right)\)

\(m< n\Rightarrow2m< m+n\) \(\left(3\right)\)

Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) , ta được :

\(2a+2c+2m< a+b+c+d+m+n\)

\(\Rightarrow\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \frac{1}{2}\)

Vậy : \(\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \frac{1}{2}\)

hình như sai đề câu b vs d bn ơi

x là nhân ak

khó quá

xin lỗi nhé mik ko làm đc