Cho phương trình: \(x^2-2xsin\alpha+cos\alpha-1=0\)với \(0<\alpha<90\)
a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1 và x2 của phương trình không phụ thuộc vào tham số \(\alpha\)
Cho góc lượng giác \(\alpha \). So sánh
a) \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\) và 1
b) \(\tan \alpha .\cot \alpha \,\,\) và 1 với \(\cos \alpha \ne 0;\sin \alpha \ne 0\)
c) \(1 + {\tan ^2}\alpha \,\,\) và \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) với \(\cos \alpha \ne 0\)
d) \(1 + {\cot ^2}\alpha \,\) và \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) với \(\sin \alpha \ne 0\)
a) \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\)
b) \(\tan \alpha .\cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1\)
c) \(\frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1\)
d) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha \)
Chứng minh rằng:
\(\left(1+\sin^2\alpha\right)x^2-2\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)x+1+\cos^2\alpha>0\) với mọi x và α
Coi BPT là bậc 2 với tham số \(sina;cosa\)
Đặt \(f\left(x\right)=\left(1+sin^2a\right)x^2-2\left(sina+cosa\right)x+1+cos^2a\)
Ta có: \(1+sin^2a>0;\forall a\)
\(\Delta'=\left(sina+cosa\right)^2-\left(1+sin^2a\right)\left(1+cos^2a\right)\)
\(=sin^2a+cos^2a+2sina.cosa-1-sin^2a-cos^2a-sin^2a.cos^2a\)
\(=-sin^2a.cos^2a+2sina.cosa-1\)
\(=-\left(sina.cosa-1\right)^2=-\left(\frac{1}{2}sin2a-1\right)^2\)
\(=-\left(\frac{sin2a-2}{2}\right)^2\)
Do \(sin2a-2< 0;\forall a\Rightarrow\left(\frac{sin2a-2}{2}\right)^2>0;\forall a\)
\(\Rightarrow\Delta'< 0;\forall a\Rightarrow f\left(x\right)>0\) với mọi x và a
1. cho x là góc nhọn, chứng minh \(\dfrac{1}{\sin^2}x\) - 1 = \(\dfrac{1}{\tan^2x}\)
2. cho \(\cos x=\dfrac{1}{3}\); tính giá trị của \(A=\dfrac{1}{\cot^2x}+1\)
3. đơn giản biểu thức: \(\tan^2\alpha-\sin^2\alpha.\tan^2\alpha\)
4.cho 00 < 900, c/m \(\dfrac{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha+\cos^4\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+\sin^4\alpha}=\tan^4\alpha\)
Cho biểu thức A= 1-2sinα.cosα/sin2α - cos2α với α ≠ 450
a) Chứng minh A = sinα - cosα / sinα + cosα
b) Tính giá trị của biểu thức A biết tanα = 1/3
\(A=\frac{1-2sina.cosa}{sin^2a-cos^2a}=\frac{sin^2a+cos^2a-2sina.cosa}{\left(sina-cosa\right)\left(sina+cosa\right)}=\frac{\left(sina-cosa\right)^2}{\left(sina-cosa\right)\left(sina+cosa\right)}=\frac{sina-cosa}{sina+cosa}\)
b/ \(A=\frac{\frac{sina}{cosa}-\frac{cosa}{cosa}}{\frac{sina}{cosa}+\frac{cosa}{cosa}}=\frac{tana-1}{tana+1}=\frac{\frac{1}{3}-1}{\frac{1}{3}+1}=-\frac{1}{2}\)
biết tanα,tanβ là các nghiệm của phương trình x^2-px+q=0 tính A=cos^2(α+β)+psin(α+β).cos(α+β)+qsin^2(α+β)
Theo Viet ta có \(\left\{{}\begin{matrix}tana+tanb=p\\tana.tanb=q\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow tan\left(a+b\right)=\frac{tana+tanb}{1-tana.tanb}=\frac{p}{1-q}\)
\(A=cos^2\left(a+b\right)\left[1+p.tan\left(a+b\right)+q.tan^2\left(a+b\right)\right]\)
\(A=\frac{1}{1+tan^2\left(a+b\right)}\left[1+\frac{p^2}{1-q}+\frac{q.p^2}{\left(1-q\right)^2}\right]\)
\(A=\frac{\left(1-q\right)^2}{p^2+\left(1-q\right)^2}\left(1+\frac{p^2}{\left(1-q^2\right)}\right)\)
\(A=\frac{\left(1-q^2\right)}{p^2+\left(1-q\right)^2}.\left(\frac{p^2+\left(1-q\right)^2}{\left(1-q\right)^2}\right)=1\)
1.Cho \(\alpha,\beta\left(\alpha\ne\beta\right)\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)và thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{cosx-cos\alpha}{cosx-cos\beta}=\dfrac{sin^2\alpha cos\beta}{sin^2\beta cos\alpha}\)
(giả sử \(x\) xác định). Chứng minh\(tan^2\dfrac{x}{2}=tan^2\dfrac{\alpha}{2}tan^2\dfrac{\beta}{2}\)
2. Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}xy-2y-3=\sqrt{y-x-1}+\sqrt{y-3x+5}\\\left(1-y\right)\sqrt{2x-y}+2\left(x-1\right)=\left(2x-y-1\right)\sqrt{y}\end{matrix}\right.\)
3. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn \(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+3}+\dfrac{1}{c+4}=1\). Tìm Min của biểu thức \(P=a+b+c+\dfrac{4}{\sqrt[3]{a\left(b+1\right)\left(c+2\right)}}+3\)
4. Tìm m để hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-5x+9\le\left|x-6\right|\\x^2+2x-3m^2+4\left|m\right|-4\le0\end{matrix}\right.\)
2.
ĐK: \(2x-y\ge0;y\ge0;y-x-1\ge0;y-3x+5\ge0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}xy-2y-3=\sqrt{y-x-1}+\sqrt{y-3x+5}\left(1\right)\\\left(1-y\right)\sqrt{2x-y}+2\left(x-1\right)=\left(2x-y-1\right)\sqrt{y}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(1-y\right)\sqrt{2x-y}+y-1+2x-y-1-\left(2x-y-1\right)\sqrt{y}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-y\right)\left(\sqrt{2x-y}-1\right)+\left(2x-y-1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{2x-y}-1\right)\left(1+\sqrt{y}\right)+\left(\sqrt{2x-y}-1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{2x-y}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{2x-y}-1\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{2x-y}+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=2x-1\end{matrix}\right.\) (Vì \(\sqrt{y}+\sqrt{2x-y}+2>0\))
Nếu \(y=1\), khi đó:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x-5=\sqrt{-x}+\sqrt{-3x+6}\)
Phương trình này vô nghiệm
Nếu \(y=2x-1\), khi đó:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow2x^2-5x-1=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\) (Điều kiện: \(2\le x\le4\))
\(\Leftrightarrow2x\left(x-3\right)+x-3+1-\sqrt{x-2}+1-\sqrt{4-x}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\dfrac{1}{1+\sqrt{4-x}}-\dfrac{1}{1+\sqrt{x-2}}+2x+1\right)=0\)
Ta thấy: \(1+\sqrt{x-2}\ge1\Rightarrow-\dfrac{1}{1+\sqrt{x-2}}\ge-1\Rightarrow1-\dfrac{1}{1+\sqrt{x-2}}\ge0\)
Lại có: \(\dfrac{1}{1+\sqrt{4-x}}>0\); \(2x>0\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+\sqrt{4-x}}-\dfrac{1}{1+\sqrt{x-2}}+2x+1>0\)
Nên phương trình \(\left(1\right)\) tương đương \(x-3=0\Leftrightarrow x=3\Rightarrow y=5\)
Ta thấy \(\left(x;y\right)=\left(3;5\right)\) thỏa mãn điều kiện ban đầu.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(3;5\right)\)
Tìm \(\alpha\) biết:
a) \(\sin\alpha=0\)
b) \(\sin\alpha=1\)
c) \(\sin\alpha=-1\)
d) \(\cos\alpha=0\)
e) \(\cos\alpha=1\)
f) \(\cos\alpha=-1\)
c, \(sin\alpha=-1\Leftrightarrow\alpha=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
a, \(sin\alpha=0\Leftrightarrow\alpha=k\pi\)
b, \(sin\alpha=1\Leftrightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
a) Cho \(\cot\alpha=-3\sqrt{2}\) với ( 90 < a <180 độ). Khi đó giá trị \(\tan\dfrac{\alpha}{2}+\cot\dfrac{\alpha}{2}\) bằng
b) Cho \(\sin x+\cos x=\dfrac{3}{2}\) thì sin 2a bằng
c) Cho \(\sin x+\cos x=\dfrac{1}{2}\) và \(0< x< \dfrac{\pi}{2}\). Tính giá trị sin x
b) \(\sin x+\cos x=\dfrac{3}{2}\)
\(\left(\sin x+\cos x\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
\(\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x=\dfrac{1}{4}\)
\(2\sin x\cos x=-\dfrac{3}{4}=\sin2x\)
a) Cho $\cos \alpha=\dfrac{3}{4}$ với $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$. Tính $A=\dfrac{\tan \alpha+3 \cot \alpha}{\tan \alpha+\cot \alpha}$.
b) Cho $\tan \alpha=\sqrt{2}$. Tính $B=\dfrac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin ^{3} \alpha+3 \cos ^{3} \alpha+2 \sin \alpha}$.