Question

Chứng minh rằng:

\(\left(1+\sin^2\alpha\right)x^2-2\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)x+1+\cos^2\alpha>0\) với mọi x và α

Answer 1

Coi BPT là bậc 2 với tham số \(sina;cosa\)

Đặt \(f\left(x\right)=\left(1+sin^2a\right)x^2-2\left(sina+cosa\right)x+1+cos^2a\)

Ta có: \(1+sin^2a>0;\forall a\)

\(\Delta'=\left(sina+cosa\right)^2-\left(1+sin^2a\right)\left(1+cos^2a\right)\)

\(=sin^2a+cos^2a+2sina.cosa-1-sin^2a-cos^2a-sin^2a.cos^2a\)

\(=-sin^2a.cos^2a+2sina.cosa-1\)

\(=-\left(sina.cosa-1\right)^2=-\left(\frac{1}{2}sin2a-1\right)^2\)

\(=-\left(\frac{sin2a-2}{2}\right)^2\)

Do \(sin2a-2< 0;\forall a\Rightarrow\left(\frac{sin2a-2}{2}\right)^2>0;\forall a\)

\(\Rightarrow\Delta'< 0;\forall a\Rightarrow f\left(x\right)>0\) với mọi x và a