Tâm là trung điểm của BC

R=BC/2=6,5(cm)

Vì ΔABC vuông tại A

==> BC² = AC² +AB² ( Định lý Pitago )

       BC² = 4² + 3² 

       BC² = 27

==> BC = √27

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=3^2+4^2=25\)

hay BC=5(cm)

Vậy: BC=5cm

b) Xét ΔABC có AC>AB(4cm>3cm)

mà góc đối diện với cạnh AC là \(\widehat{ABC}\)

và góc đối diện với cạnh AB là \(\widehat{ACB}\)

nên \(\widehat{B}>\widehat{C}\)(Định lí quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)

a)                 Vì  M H ⊥ A B , C A ⊥ A B ⇒ M H / / C A

  ⇒ B M H ^ = B C A ^ (hai góc đồng vị)

Tương tự  H B M ^ = K M C ^

b)                Do M H / / C A  và M K ⊥ A C  nên M K ⊥ M H

Suy ra H M K ^ = 90 0

Xét ΔABD và ΔACB có

AB/AC=AD/AB

góc A chung

=>ΔABD đồng dạng với ΔACB

=>góc ABD=góc ACB

a)

Xét 2 tam giác vuông ABC và HAC có:

\(\widehat{C}\) chung

=> tg ABC \(\sim\) td HAC (g.g)

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{HAC}\)

b)

Xét 2 tg vuông ACB và HAB có:

\(\widehat{B}\) chung

=> tg ACB \(\sim\) tg HAB (g.g)

=> \(\widehat{ACB}=\widehat{HAB}\)

\(AB=BC=\dfrac{AD}{2}=a\Rightarrow AD=2a\)

\(C\in CD:3x+4y-4=0\Rightarrow C\left(b;4-3b\right)\)

\(xét\Delta ABC\) \(vuông\) \(tạiB\Rightarrow AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Delta ABC\) \(vuông\) \(cân\) \(tạiB\Rightarrow\) \(goscBAC=45^o\)

\(\Rightarrow góc\) \(DAC=45^o\) 

\(xét\Delta ADC\) \(có:DC=\sqrt{AC^2+AD^2-2AC.AD.cos\left(45^o\right)}\)

\(=\sqrt{2a^2+4a^2-2.a^2\sqrt{2}.2.cos\left(45\right)}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow DC=AC\Rightarrow\Delta ADC\) \(cân\) \(tạiC\Rightarrow góc\left(DAC\right)=góc\left(ADC\right)=45^o\Rightarrow góc\left(ACD\right)=90^o\)

\(\overrightarrow{CA}=\left(-2-b;3b-4\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_{ca}=}\left(4-3b;-2-b\right)\)

\(CD:3x+y-4=0\Rightarrow\overrightarrow{n}=\left(3;1\right)\)

\(\Rightarrow cos\left(90\right)=0=3\left(4-3b\right)-2-b=0\Leftrightarrow b=1\)

\(\Rightarrow C\left(1;1\right)\)

\(đặt:B\left(x;y\right)\left(y>0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\\AB=BC\end{matrix}\right.\) \(hệ\) \(pt\) \(ẩn\) \(x;y\Rightarrow B=\left(......\right)\)

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\dfrac{2a+b+c}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\dfrac{3}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+b+c\right)\left(a+b+c\right)=3\left(a^2+ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+b^2+c^2+3ab+3ac+2bc=3a^2+3ab+3bc+3ca\)

\(\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2-bc\).

Đây chính là định lý hàm cos cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=60^o\).

(Phần chứng minh bạn có thể xem ở Cho tam giác ABC có Â=60 độ. Chứng minh rằng BC^2=AB^2 AC^2-AB.BC - Hoc24)