Cho △ABC nhọn. Vẽ đường tròn ( O ) đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng BE và DC. Đường thẳng AH cắt BC tại F và cắt ( O ) tại P ( P nằm giữa A và H). Đường thẳng DF cắt ( O ) tại K. Gọi M là giao điểm của EK và BC. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp △HDP. Cho các tứ giác ADHE và DBFH nội tiếp. Chứng minh: \(\hat{HPC}=\hat{PDC}\) và suy ra 3 điểm B, I, P thẳng hàng.

Cho △ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ), nội tiếp ( O, R ), các đường cao AD, BE, CF. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. a) Chứng minh: \(MF.ME=MB.MC\) và \(\hat{FEI}=\hat{BAC}\). b) Đường thẳng qua A song song với đường thẳng BC cắt ( O, R ) tại G ( G khác A ), tia GD cắt ( O, R ) tại H ( H khác G , tia MH cắt ( O, R ) tại K ( K khác H. Chứng minh: A, I, K thẳng hàng.

Cho △ABC ( AB < AC ) có ba đỉnh nằm trên đường tròn ( O ). Các đường cao AD, BE, CF của △ABC cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AT của ( O ).
a) Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp và \(AB.AC=AD.AT\).

b) Tia AD kéo dài cắt ( O ) tại K ( K ≠ H ). Gọi M là giao điểm thứ hai của KE và ( O ). Chứng minh: \(\hat{BMK}=\hat{HEF}\) và D là trung điểm HK.
c) Giả sử \(BC=R\sqrt3\). Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung BC và dây căng cung BC theo \(R\).

Cho △ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ), nội tiếp ( O, R ), các đường cao AD, BE, CF. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Chứng minh: \(MF.ME=MB.MC\) và \(\hat{FEI}=\hat{BAC}\).

b) Đường thẳng qua A song song với đường thẳng BC cắt ( O, R ) tại G ( G khác A ), tia GD cắt ( O, R ) tại H ( H khác G , tia MH cắt ( O, R ) tại K ( K khác H. Chứng minh: A, I, K thẳng hàng.

Cho △MNP nhọn nội tiếp (O), ( MP<MN). Hai đường cao PH và NK cắt nhau tại A.
a) Chứng minh: Tứ giác MKAH nội tiếp

b) Chứng minh: Tứ giác KPNH nội tiếp, xác định tâm F, góc NOF = NAH.

c) Cho NP = \(R\sqrt3\). Chứng minh: △KFH đều, tính bán kính đường tròn ngoại tiếp △KFH.

Cho △ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp (O). Vẽ đường kính AD. Gọi H là giao điểm hai đường cao kẻ từ B và C.
a) Cho DB ⊥ AB và CD ⊥ AC. Chứng minh: BHCD là hình bình hành. Từ đó suy ra: \(AC^2+BH^2=4R^2\)
b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh 3 điểm H, M, D thẳng hàng và AH = 2OM