3 câu này bạn áp dụng cái này nhé.

`a^2 >=0 forall a`.

`|a| >=0 forall a`.

`1/a` xác định `<=> a ne 0`.

a: P=(x+30)^2+(y-4)^2+1975>=1975 với mọi x,y

Dấu = xảy ra khi x=-30 và y=4

b: Q=(3x+1)^2+|2y-1/3|+căn 5>=căn 5 với mọi x,y

Dấu = xảy ra khi x=-1/3 và y=1/6

c: -x^2-x+1=-(x^2+x-1)

=-(x^2+x+1/4-5/4)

=-(x+1/2)^2+5/4<=5/4

=>R>=3:5/4=12/5

Dấu = xảy ra khi x=-1/2

\(A\)xác định \(\Leftrightarrow x^2y^2+1+\left(x^2-y\right)\left(1-y\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+1+x^2-x^2y-y+y^2\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2y^2+y^2\right)+\left(x^2+1\right)-\left(x^2y+y\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow y^2\left(x^2+1\right)+\left(x^2+1\right)-y\left(x^2+1\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(y^2-y+1\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\ne0\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2+1>0\forall x\\\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall y\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]>0\forall x;y\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\ne0\forall x;y\)

\(\Leftrightarrow A\ne0\forall x;y\)

\(c,P=\dfrac{x^2-x^2+8xy-16y^2}{x^2+4y^2}=\dfrac{8\left(\dfrac{x}{y}\right)-16}{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2+4}\)

Đặt \(\dfrac{x}{y}=t\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{8t-16}{t^2+4}\Leftrightarrow Pt^2+4P=8t-16\\ \Leftrightarrow Pt^2-8t+4P+16=0\)

Với \(P=0\Leftrightarrow t=2\)

Với \(P\ne0\Leftrightarrow\Delta'=16-P\left(4P+16\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-P^2-4P+4\ge0\Leftrightarrow-2-2\sqrt{2}\le P\le-2+2\sqrt{2}\)

Vậy \(P_{max}=-2+2\sqrt{2}\Leftrightarrow t=\dfrac{4}{P}=\dfrac{4}{-2+2\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{y}=2+2\sqrt{2}\)

Bài a hình như sai đề rồi bạn.

\(a,\text{Đặt }\left\{{}\begin{matrix}S=y+z\\P=yz\end{matrix}\right.\\ HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(y+z\right)^2-2yz+x^2=8\\x\left(y+z\right)+yz=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S^2-2P+x^2=8\\Sx+P=4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S^2-2\left(4-Sx\right)+x^2=8\\P=4-Sx\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S^2+2Sx+x^2-16=0\left(1\right)\\P=4-Sx\end{matrix}\right.\\ \left(1\right)\Leftrightarrow\left(S+x-4\right)\left(S+x+4\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}S=-x+4\Rightarrow P=\left(x-2\right)^2\\S=-x-4\Rightarrow P=\left(x+2\right)^2\end{matrix}\right.\)

Mà y,z là nghiệm của hệ nên \(S^2-4P\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(4-x\right)^2\ge4\left(x-2\right)^2\\\left(-4-x\right)^2\ge4\left(x+2\right)^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-\dfrac{8}{3}\le x\le\dfrac{8}{3}\)

Bài 2: Ta có:

\(\left(2x+5y+1\right)\left(2020^{\left|x\right|}+y+x^2+x\right)=105\) là số lẻ

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+5y+1\\2020^{\left|x\right|}+y+x^2+x\end{matrix}\right.\) đều lẻ

\(\Rightarrow y⋮2\)\(\Rightarrow2020^{\left|x\right|}⋮̸2\Leftrightarrow\left|x\right|=0\Leftrightarrow x=0\).

Thay vào tìm được y...

Lúc nãy bận thi online nên giờ mới làm tiếp được, bạn thông cảm.

Bài 4:

Do p; q; r là các SNT nên \(p^q+q^p>2^2+2^2=8\Rightarrow r>8\) nên r là SNT lẻ

Mà r lẻ thì trong 2 số \(p^q;q^p\) phải có 1 số lẻ, một số chẵn.

Do vai trò p; q như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử p lẻ, q chẵn

\(\Rightarrow q=2\). Lúc này ta có:

\(p^2+2^p=r\)

+Xét p=3\(\Rightarrow p^2+2^p=r=17\left(tm\right)\) (Do p lẻ nên loại TH p=2)

+Xét p>3. Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}p^2\equiv1\left(mod3\right)\\2^p\equiv\left(-1\right)^p\equiv-1\left(mod3\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow p^2+2^p\equiv1+\left(-1\right)\equiv0\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow\left(p^2+2^p\right)⋮3\) mà \(p^2+2^p>3\) nên là hợp số

\(\Rightarrow r\) là hợp số, không phải SNT, loại.

Vậy ta có \(\left(p;q;r\right)\in\left\{\left(3;2;17\right);\left(2;3;17\right)\right\}\) tm đề bài

Bài 6: Ta có 1SCP lẻ chia cho 4 dư 1.

Nếu 2n-1 là SCP thì ta có

\(2n-1\equiv1\left(mod4\right)\Leftrightarrow2n+1\equiv3\left(mod4\right)\)

Do đó 2n+1 không là SCP

\(\Rightarrowđpcm\)

\(y=x+\dfrac{1}{x}-5\ge2\sqrt{\dfrac{x}{x}}-5=-3\)

\(y_{min}=-3\) khi \(x=1\)

\(y=4x^2+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}-4\ge3\sqrt[3]{\dfrac{4x^2}{2x.2x}}-4=-1\)

\(y_{min}=-1\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)

\(y=x+\dfrac{4}{x}\Rightarrow y'=1-\dfrac{4}{x^2}=0\Rightarrow x=-2\)

\(y\left(-2\right)=-4\Rightarrow\max\limits_{x>0}y=-4\) khi \(x=-2\)

a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2\right)\left(y+3\right)-xy=100\\xy-\left(x-2\right)\left(y-2\right)=64\end{matrix}\right.\)

=>xy+3x+2y+6-xy=100 và xy-xy+2x+2y-4=64

=>3x+2y=94 và 2x+2y=68

=>x=26 và x+y=34

=>x=26 và y=8

b: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3x+3+2}{x+1}-\dfrac{2}{y+4}=4\\\dfrac{2x+2-2}{x+1}-\dfrac{5y+20-11}{y+4}=9\end{matrix}\right.\)

=>\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{2}{y+4}=4-3=1\\\dfrac{-2}{x+1}+\dfrac{11}{y+4}=9+5-2=12\end{matrix}\right.\)

=>x+1=18/35; y+4=9/13

=>x=-17/35; y=-43/18

a)

\(\begin{array}{l}\left( {2x - 5y} \right)\left( {2x + 5y} \right) + {\left( {2x + 5y} \right)^2}\\ = \left( {2x + 5y} \right)\left( {2x - 5y + 2x + 5y} \right)\\ = \left( {2x + 5y} \right).4x\\ = 2x.4x + 5y.4x\\ = 8{x^2} + 20xy\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}\left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \right) + \left( {2x - y} \right)\left( {4{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)\\ = {x^3} + {\left( {2y} \right)^3} + {\left( {2x} \right)^3} - {y^3}\\ = {x^3} + 8{y^3} + 8{x^3} - {y^3}\\ = \left( {{x^3} + 8{x^3}} \right) + \left( {8{y^3} - {y^3}} \right)\\ = 9{x^3} + 7{y^3}\end{array}\)