Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM ta có:

\(S=\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{4}{xy+xz}=\dfrac{4}{x\left(y+z\right)}\)

\(\ge\dfrac{4}{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{4}}=\dfrac{16}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

Xảy ra khi \(x=2;y=z=1\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{xy+xz}=\dfrac{4}{x\left(y+z\right)}\)(1)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(x\left(y+z\right)\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{4}=4\)=> \(\dfrac{1}{x\left(y+z\right)}\ge\dfrac{1}{4}\)=> \(\dfrac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)=> \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge1\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra <=> x = 2 ; y = z = 1

chtt

em thó nhé sir:)) đang rảnh

\(\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{4}{x\left(y+z\right)}\ge\dfrac{4}{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{4}}=\dfrac{16}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\)

\(y^2-yz+z^2=y^2+\left(z-y\right)y\le y^2\Rightarrow\dfrac{1}{y^2-yz+z^2}\ge\dfrac{1}{y^2}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{z^2-xz+x^2}\ge\dfrac{1}{x^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{x^2-xy+y^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{x^2-xy+y^2}+\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2y^2}+\dfrac{1}{xy}\)

\(P\ge2\sqrt{\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2y^2\left(x^2-xy+y^2\right)}}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{3}{xy}\ge\dfrac{12}{\left(x+y\right)^2}\ge\dfrac{12}{\left(x+y+z\right)^2}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;0\right)\) và hoán vị

Lời giải:

Ta có: \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)

Mà theo BĐT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\)

Do đó: \(3\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow x+y+z\geq 3\)

-------

Ta có: \(\text{VT}=x-\frac{xz}{x^2+z}+y-\frac{xy}{y^2+x}+z-\frac{yz}{z^2+y}\)

\(=(x+y+z)-\left(\frac{xy}{y^2+x}+\frac{yz}{z^2+y}+\frac{xz}{x^2+z}\right)\)

\(\geq x+y+z-\frac{1}{2}\left(\frac{xy}{\sqrt{xy^2}}+\frac{yz}{\sqrt{z^2y}}+\frac{xz}{\sqrt{x^2z}}\right)\) (AM-GM)

\(=x+y+z-\frac{1}{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\)

Tiếp tục AM-GM: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}+\frac{z+1}{2}=\frac{x+y+z+3}{2}\)

Suy ra:

\(\text{VT}\geq x+y+z-\frac{1}{2}.\frac{x+y+z+3}{2}=\frac{3}{4}(x+y+z)-\frac{3}{4}\)

\(\geq \frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

Lời giải:

Sử dụng PP biến đổi tương đương kết hợp với BĐT Cauchy:

Ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\geq 1\Leftrightarrow \frac{z}{xyz}+\frac{y}{xyz}\geq 1\)

\(\Leftrightarrow \frac{y+z}{xyz}\geq 1\Leftrightarrow y+z\geq xyz\)

\(\Leftrightarrow y+z\geq (4-y-z)yz\)

\(\Leftrightarrow y^2z+yz^2+y+z\geq 4yz(*)\)

Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\left\{\begin{matrix} y^2z+z\geq 2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\ yz^2+y\geq 2\sqrt{z^2y^2}=2yz\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế: \(y^2z+yz^2+y+z\geq 4yz\). Do đó $(*)$ đúng. Ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \((x,y,z)=(2,1,1)\)

Bài này có đúng là của lớp 7 không bạn?

\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}>=\sqrt{\dfrac{3}{xy}}\)

\(\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}>=\sqrt{\dfrac{3}{yz}}\)

\(\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}>=\sqrt{\dfrac{3}{xz}}\)

=>\(VT>=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)=3\sqrt{3}\)