Question

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x +y + z = 4.

Chứng minh: \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge1\)

Answer 1

Lời giải:

Sử dụng PP biến đổi tương đương kết hợp với BĐT Cauchy:

Ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\geq 1\Leftrightarrow \frac{z}{xyz}+\frac{y}{xyz}\geq 1\)

\(\Leftrightarrow \frac{y+z}{xyz}\geq 1\Leftrightarrow y+z\geq xyz\)

\(\Leftrightarrow y+z\geq (4-y-z)yz\)

\(\Leftrightarrow y^2z+yz^2+y+z\geq 4yz(*)\)

Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\left\{\begin{matrix} y^2z+z\geq 2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\ yz^2+y\geq 2\sqrt{z^2y^2}=2yz\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế: \(y^2z+yz^2+y+z\geq 4yz\). Do đó $(*)$ đúng. Ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \((x,y,z)=(2,1,1)\)