Question

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn:

xy+yz+zx=1

Tìm GTLN của biểu thức

\(A=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+y^2}}\)

Answer 1

Ta có:\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{y\left(x+z\right)+x\left(x+z\right)}}=\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{x}{x+y}}.\sqrt{\frac{x}{x+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)

Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta thu được:

\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)

ĐẲng thức xảy ra khi x =y = z=\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)