Giải:

Xét tam giác vuông AHM và ANM có:

\(\Delta AHM\perpởH;\Delta ANM\perpởN\)

cạnh huyền AM chung

góc nhọn \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)

=> tam giác AHM = tam giác ANM ( cạnh huyền-góc nhọn)

=> AH=AN

=> Tam giác AHN cân tại A                    (1)

Tam giác ABH có \(\widehat{AHB}=90^o\): \(\widehat{B}+\widehat{BAH}+\widehat{AHB}=180^o\), mà \(\widehat{B}=60^o;\widehat{AHB}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=30^o\)

Mà: \(\widehat{BAC}=90^o\Rightarrow\widehat{HAN}=\widehat{BAC}-\widehat{BAH}=90^o-30^o=60^o\)(2)

Từ (1) và (2) => tam giác AHN đều

b, Gọi O là giao điểm của AM và HN

Xét tam giác AHO và ANO có:

AH=AN

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)

AO chung

=> tam giác AHO = tam giác ANO (c.g.c)

=> HO=NO

=> O là trung điểm HN        (1)

Ta có: tam giác AHO = tam giác ANO (chứng minh trên)

=>\(\widehat{AOH}=\widehat{AON}\), mà \(\widehat{AOH}+\widehat{AON}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AOH}=\widehat{AON}=90^ohayAO\perp HN\) (2)

Từ (1) và (2) => AO là đường trung trực của HN

=> AM là đường trung trực của HN

c, chưa ra

CM: a) Xét t/giác AHM và t/giác ANM

có : \(\widehat{AHM}=\widehat{ANM}=90^0\) (gt)

       AM : chung

       \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (gt)

=> t/giác AHM = t/giác ANM (ch - gn)

=> AH = AN (2 cạnh t/ứng)

=> t/giác AHN cân tại A (1)

Xét t/giác ABC có \(\widehat{A}\) = 90⁰ => \(\widehat{ABC}+\widehat{C}\)= 90⁰

Xét t/giác AHC có \(\widehat{AHC}=90^0\) => \(\widehat{HAC}+\widehat{C}=90^0\)

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{HAC}\)

Mà \(\widehat{ABC}=60^0\) => \(\widehat{HAC}=60^0\) (hay \(\widehat{HAN}=60^0\))                    (2)

Từ (1) và (2) => t/giác AHN là t/giác đều

b) Ta có: t/giác AHM = t/giác ANM (cmt)

=> HM = MN (2 cạnh t/ứng)

=> M \(\in\)đường trung trực của HN

Ta lại có: AH = AN (cmt)

=> A \(\in\)đường trung trực của HN

mà A \(\ne\) M => AM là đường trung trực của HN

c) Do \(\widehat{DHA}\)là góc ngoài của t/giác AHN 

=> \(\widehat{DHA}=\widehat{HAN}+\widehat{ANH}=2.60^0=120^0\) (t/giác AHN là t/giác đều => góc HAN = góc AHN = góc HNA = 60⁰)

Ta có: \(\widehat{DAH}+\widehat{HAC}=90^0\) => \(\widehat{DAH}=90^0-\widehat{HAC}=90^0-60^0=30^0\) (3)

Xét t/giác AHD có : \(\widehat{ADH}+\widehat{AHD}+\widehat{DAH}=180^0\) (tổng 3 góc của 1 t/giác)

=> \(\widehat{HDA}=180^0-\widehat{DHA}-\widehat{DAH}=180^0-120^0-30^0=30\)(4)

Từ (3) và (4) => \(\widehat{HDA}=\widehat{DAH}=30^0\) => t/giác AHD cân tại H => DH = AH

                                                                                       mà AH = HN (vì t/giác AHN là t/giác đều)

 => DH = HN => AH là trung tuyến của t/giác AND

a: AC=4cm

b: Xét ΔAMH vuông tại H và ΔAMN vuông tại N có

AM chung

\(\widehat{MAH}=\widehat{NAH}\)

Do đó: ΔAMH=ΔAMN

Suy ra: MH=MN; AH=AN

hay AM là đường trung trực của NH

c: Xét ΔAHN có AH=AN

nên ΔAHN cân tại A

mà \(\widehat{HAN}=60^0\)

nên ΔAHN đều

Tham khảo:

b) Vì ΔAHC = ΔAHB ( câu a )

=> BH = HC ( Hai cạnh tương ứng )

Xét ΔBHN và ΔCHM, ta có:

BH = HC ( cmt )

Góc BHN = Góc CHM ( Hai góc đối đỉnh )

HN = HM ( gt )

=> ΔBHN = ΔCHM ( c-g-c )

=> Góc HMC = Góc BNH ( Hai góc tương ứng )

Mà góc HMC và góc BNH là hai góc so le trong

=> BN // AC

c)

a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AH là cạnh chung

Do đó: ΔABH=ΔACH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

b) Ta có: ΔABH=ΔACH(cmt)

⇒\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{MAH}=\widehat{NAH}\)

Xét ΔAMH vuông tại M và ΔANH vuông tại N có

AH là cạnh chung

\(\widehat{MAH}=\widehat{NAH}\)(cmt)

Do đó: ΔAMH=ΔANH(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒AM=AN(hai cạnh tương ứng)

c) Ta có: ΔAHB=ΔAHC(cmt)

⇒HB=HC(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔBMH và ΔCNH có

HB=HC(cmt)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(hai góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔBMH=ΔCNH(cạnh huyền-góc nhọn)

d) Xét ΔAMN có AM=AN(cmt)

nên ΔAMN cân tại A(định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{AMN}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔAMN cân tại A)(1)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

⇒\(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{AMN}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị

nên MN//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

e)

*Tính AB

Ta có: HB=HC(cmt)

mà HB+HC=BC(H nằm giữa B và C)

nên \(BH=CH=\frac{BC}{2}=\frac{12cm}{2}=6cm\)

Áp dụng định lí pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được

\(AB^2=BH^2+AH^2\)

hay \(AB^2=6^2+8^2=100\)

⇒\(AB=\sqrt{100}=10cm\)

Vậy: AB=10cm

a: Xét ΔAHC vuôg tại H và ΔAHB vuông tại H có

AB=AC

AH chung

DO đo: ΔAHC=ΔAHB

b: Xét tứ giác BMCN có

H là trung điểm của BC

H là trung điểm của MN

DO đó: BMCN là hình bình hành

Suy ra: BN//AC

c: Xét ΔAQH vuông tạiQ và ΔAMH vuông tại M có

AH chung

\(\widehat{QAH}=\widehat{MAH}\)

Do đó: ΔAQH=ΔAMH

Suy ra: HQ=HM

=>HQ=1/2MN

=>ΔMQN vuông tại Q

Xét ΔBQH vuông tạiQ và ΔBNH vuông tại N có

BH chung

HQ=HN

Do đó; ΔBQH=ΔBNH

Suy ra: BQ=BN

=>BH là đường trung trực của QN

b: Xét ΔAHC vuông tại H có 

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

hay \(AH^2=AC^2-HC^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AC^2-HC^2=AN\cdot AC\)

- Ta có : \(\Delta ABC\) cân tại A .

=> AB = AC ( Tính chất tam giác cân )

=> \(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) ( Tính chất tam giác cân )

- Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(cmt\right)\\\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\left(cmt\right)\\AH=AH\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta AHB\) = \(\Delta AHC\) ( c - g -c )

b, Ta có : \(\Delta AHB\) = \(\Delta AHC\) ( câu a )

=> BH = CH ( cạnh tương ứng )

- Xét \(\Delta HMB\) và \(\Delta HNC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HMB}=\widehat{HNC}\left(=90^o\right)\\BH=CH\left(cmt\right)\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta HMB\) = \(\Delta HNC\) ( Ch - Cgv )

=> MB = NC ( cạnh tương ứng )

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AM+BM\\AC=AN+CN\end{matrix}\right.\)

Mà AB = AC (tam giác cân )

=> \(AM=AN\)

- Xét \(\Delta AMN\) có : AM = AN ( cmt )

=> \(\Delta AMN\) là tam giác cân tại A ( đpcm )

c, - Ta có : \(\Delta AMN\) cân tại A ( cmt )

=> \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)

Mà \(\widehat{AMN}+\widehat{ANM}+\widehat{MAN}=180^o\)

=> \(\widehat{2AMN}+\widehat{MAN}=180^o\)

=> \(\widehat{AMN}=\frac{180^o-\widehat{MAN}}{2}\) ( I )

- Ta có : \(\Delta ABC\) cân tại A .

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

Mà \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\)

=> \(\widehat{2ABC}+\widehat{BAC}=180^o\)

=> \(\widehat{ABC}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) ( II )

Ta có : \(\widehat{ABC}=\widehat{AMN}\left(=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\right)\)

Mà 2 góc trên ở vị trí đồng vị .

=> MN // BC ( Tính chất 2 đoạn thẳng song song )

d, ( Hình vẽ câu trên nha )

- Áp dụng định lý pi - ta - go vào \(\Delta AHB\perp H\) có :

\(AH^2+BH^2=AB^2\)

- Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta AHB\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MAH}=\widehat{BAH}\\\widehat{AMH}=\widehat{AHB}\left(=90^o\right)\end{matrix}\right.\)

Lời giải:
a)

Xét tam giác $HDC$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm $DH, DC$ nên $MN$ là đường trung bình ứng với cạnh $HC$ của tam giác $HDC$

$\Rightarrow MN\parallel HC\Rightarrow MN\parallel BC$

Mà $AH\perp BC$ nên $MN\perp AH$

b) Gọi $T$ là giao điểm $BD$ và $AM$

Vì $ABC$ là tam giác cân nên $\widehat{B}=\widehat{C}$

$\Rightarrow \triangle ABH\sim \triangle HCD$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AH}{BH}=\frac{HD}{CD}$

$\Leftrightarrow \frac{AH}{2BH}=\frac{HD}{2CD}$

$\Leftrightarrow \frac{AH}{BC}=\frac{HM}{CD}$

$\Leftrightarrow \frac{AH}{HM}=\frac{BC}{CD}$

Xét tam giác $AMH$ và $BDC$ có:

$\frac{AH}{HM}=\frac{BC}{CD}$ (cmt)

$\widehat{AHM}=\widehat{BCD}(=90^0-\widehat{HAC})$

$\Rightarrow \triangle AMH\sim \triangle BDC$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{MAH}=\widehat{DBC}$

$\Leftrightarrow \widehat{TAE}=\widehat{EBH}$

$\Rightarrow \widehat{ATE}=\widehat{EHB}=90^0$

$\Rightarrow AM\perp BD$

Hình vẽ: