Question

Cho ΔABC cân tại A. Vẽ AH ⊥ BC
a) Chứng minh: ΔAHB = ΔAHC
b) Vẽ HM ⊥ AB, HN ⊥ AC. Chứng minh ΔAMN cân

c) Chứng minh MN // BC

d) Chứng minh\(AH^2+BM^2=AN^2+BH^2\)

Answer 1

- Ta có : \(\Delta ABC\) cân tại A .

=> AB = AC ( Tính chất tam giác cân )

=> \(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) ( Tính chất tam giác cân )

- Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(cmt\right)\\\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\left(cmt\right)\\AH=AH\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta AHB\) = \(\Delta AHC\) ( c - g -c )

b, Ta có : \(\Delta AHB\) = \(\Delta AHC\) ( câu a )

=> BH = CH ( cạnh tương ứng )

- Xét \(\Delta HMB\) và \(\Delta HNC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HMB}=\widehat{HNC}\left(=90^o\right)\\BH=CH\left(cmt\right)\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta HMB\) = \(\Delta HNC\) ( Ch - Cgv )

=> MB = NC ( cạnh tương ứng )

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AM+BM\\AC=AN+CN\end{matrix}\right.\)

Mà AB = AC (tam giác cân )

=> \(AM=AN\)

- Xét \(\Delta AMN\) có : AM = AN ( cmt )

=> \(\Delta AMN\) là tam giác cân tại A ( đpcm )

c, - Ta có : \(\Delta AMN\) cân tại A ( cmt )

=> \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)

Mà \(\widehat{AMN}+\widehat{ANM}+\widehat{MAN}=180^o\)

=> \(\widehat{2AMN}+\widehat{MAN}=180^o\)

=> \(\widehat{AMN}=\frac{180^o-\widehat{MAN}}{2}\) ( I )

- Ta có : \(\Delta ABC\) cân tại A .

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

Mà \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\)

=> \(\widehat{2ABC}+\widehat{BAC}=180^o\)

=> \(\widehat{ABC}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) ( II )

Ta có : \(\widehat{ABC}=\widehat{AMN}\left(=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\right)\)

Mà 2 góc trên ở vị trí đồng vị .

=> MN // BC ( Tính chất 2 đoạn thẳng song song )

Answer 2

d, ( Hình vẽ câu trên nha )

- Áp dụng định lý pi - ta - go vào \(\Delta AHB\perp H\) có :

\(AH^2+BH^2=AB^2\)

Answer 3

- Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta AHB\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MAH}=\widehat{BAH}\\\widehat{AMH}=\widehat{AHB}\left(=90^o\right)\end{matrix}\right.\)

Answer 4

=> \(\Delta AMH\) ~ \(\Delta AHB\) ( g - g )

=> \(\frac{AH}{AB}=\frac{AM}{AH}\) ( cạnh tương ứng )

=> \(AH^2=AB.AM\)

=> \(2AH^2=2AB.AM\)

=> \(2AH^2-2AB.AM=0\)

=> \(2AH^2-2AB.AM+BH^2+AM^2=BH^2+AM^2\)

Mà \(AB^2=AH^2+HB^2\) ( cmt )

=> \(AH^2+AB^2-2AB.AM+AM^2=BH^2+AM^2\)

Mà \(AM=AN\)

-> \(AM^2=AN^2\)

=> \(AH^2+AB^2-2AB.AM+AM^2=BH^2+AN^2\)

=> \(AH^2+\left(AB-AM\right)^2=BH^2+AN^2\)

=> \(AH^2+BM^2=AN^2+BH^2\) ( đpcm )

Answer 5

Hà Nguyễn Thanh Hải thông cảm nha máy lỗi nhẹ không gửi 1 lần được

Answer 6

a) Xét △AHB và △AHC có:

AHB = AHC ( =90^o)

AH: chung

AB = AC (△ABC cân)

\(\Rightarrow\) △AHB = △AHC (ch-cgv)

b) Xét △MBH và △NCH có:

HMB = HNC ( =90^o)

HB = HC (△AHB = △AHC)

MBH = NCH (△ABC cân)

\(\Rightarrow\) △MBH = △NCH (ch-gn)

Xét △AHM và △AHN có:

AMH = ANH (= 90^o)

AH: chung

HM = AN (△MBH = △NCH)

\(\Rightarrow\) △AHM = △AHN (ch-cgv)

\(\Rightarrow\)AM = AN (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\) △AMN cân

c) Vì △ABC cân tại A

\(\Rightarrow\)ABC = \(\frac{180^o-A}{2}\) (1)

Vì △AMN cân tại A

\(\Rightarrow\)AMN = \(\frac{180^o-A}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)ABC = AMN

Mà hai góc ở vị trí đồng vị

\(\Rightarrow\)MN // BC

d) Xét △AHN vuông tại N

\(\Rightarrow\)AN² = AH² - HN² (định lí Pythagoras)

Xét △NHC vuông tại N

\(\Rightarrow\)HC² = HN² + CN² (định lí Pythagoras)

Vì HC = BH (△AHC = △AHB)

\(\Rightarrow\)BH² = HC²

\(\Rightarrow\)BH² = HN² + CN²

\(\Rightarrow\)AN² + BH² = AH² - HN² + HN² + CN²

\(\Rightarrow\)AN² + BH² = AH² + CN²

Lại có: BM = CN (△MHB = △NHC)

\(\Rightarrow\)BM² = CN²

\(\Rightarrow\)AN² + BH² = AH² + BM²

\(\Rightarrow\)đpcm

Answer 7

.