Có\(\Delta=4\left(m+1\right)^2-4\left(2m-3\right)=4m^2+16>0\forall m\)

=> pt luôn có hai nghiệm pb

Theo viet có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

Có :\(P^2=\left(\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right)^2=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)

\(=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{4\left(m+1\right)^2-4\left(2m-3\right)}=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{4m^2+16}\)\(\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge0\)

Dấu = xảy ra khi m=-1

a)\(A=1+x+x^2+x^3+..........+x^{2012}\)

+)Thay x=1 vào biểu thức đc:

\(A=1+1+1^2+1^3+..............+1^{2012}\)

               Có 2013 số hạng

\(\Rightarrow A=1.2013=2013\)

b)\(B=1-x+x^2-x^3+..............-x^{2011}\)

\(\Rightarrow B=\left(1-x\right)+\left(x^2-x^3\right)+............+\left(x^{2010}-x^{2011}\right)\)

+)Thay x=1 vào biểu thức được:

\(B=\left(1-1\right)+\left(1^2-1^3\right)+...........+\left(1^{2010}-1^{2011}\right)\)

\(\Rightarrow B=0+0+......................+0=0\)

+)\(C=A+B\Rightarrow C=2013+0\Rightarrow C=2013\)

Vậy C=2013

Chúc bn học tốt

dễ ẹc tự làm đi :v

x³-3x²+3x-4                 x²+2

x³       +2x                    x-3

_____________

   -3x²+x-4

    -3x²   -6

_____________

          x+2

-Để f(x) chia hết cho đa thức x²+2 thì:

\(x+2=0\Leftrightarrow x=2\)(nhận)              

PT có nghiệm `<=> \Delta' >=0`

`<=> (m-1)^2-(m^2+2)>=0`

`<=>-2m-1>=0`

`<=>m <= -1/2`

Viet: `x_1+x_2=2m-2`

`x_1x_2=m^2+2`

`x_1^2+x_2^2=10`

`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=10`

`<=>(2m-2)^2-2(m^2+2)=10`

`<=> 2m^2-8m=10`

`<=>` \(\left[{}\begin{matrix}m=-1\left(TM\right)\\m=5\left(L\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy `m=-1`.

Chắc là tìm n?

\(\Delta'=\left(n-1\right)^2+n+1=n^2-n+2=\left(n-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0;\forall n\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm pb với mọi n

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(n-1\right)\\x_1x_2=-n-1\end{matrix}\right.\)

Đặt \(P=\left|x_1-x_2\right|\)

\(\Rightarrow P=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)

\(=\sqrt{4\left(n-1\right)^2+4\left(n+1\right)}=2\sqrt{n^2-n+2}\)

\(=2\sqrt{\left(n-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}}\ge\sqrt{7}\)

\(P_{min}=\sqrt{7}\) khi \(n-\dfrac{1}{2}=0\Rightarrow n=\dfrac{1}{2}\)

=>(x1+x2)^2+x1x2=1

=>(-2m)^2+(-3)=1

=>4m^2=4

=>m=-1 hoặc m=1

Do a = 1 và c = -3

⇒ a và c trái dấu

⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Viét, ta có:

x₁ + x₂ = -2m

x₁x₂ = -3

Lại có:

x₁² + x₂² + 3x₁x₂ = 1

⇔ x₁² + 2x₁x₂ + x₂² + x₁x₂ = 1

⇔ (x₁ + x₂)² + x₁x₂ = 1

⇔ (-2m)² - 3 = 1

⇔ 4m² = 4

⇔ m² = 1

⇔ m = -1 hoặc m = 1

Vậy m = -1; m = 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn: x₁² + x₂² + 3x₁x₂ = 1

b: \(\Leftrightarrow3n^3+n^2+9n^2+3n-3n-1-4⋮3n+1\)

\(\Leftrightarrow3n+1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

\(\Leftrightarrow n\in\left\{0;-1;1\right\}\)

Chọn đáp án A

x1+x2=2m+2; x1x2=m^2+4

x1^2+2(m+1)x2<=2m^2+20

=>x1^2+x2(x1+x2)<=2m^2+20

=>x1^2+x2x1+x2^2<=2m^2+20

=>(x1+x2)^2-x1x2<=2m^2+20

=>(2m+2)^2-(m^2+4)<=2m^2+20

=>4m^2+8m+4-m^2-4-2m^2-20<=0

=>m^2-8m-20<=0

=>m<=-10 hoặc m>2

\(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+4=0\left(1\right)\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta'>0\) hay \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2-4=m^2+2m+1-m^2-4=2m-4>0\Leftrightarrow m>2\)

Theo hệ thức Viét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1.x_2=m^2+4\end{matrix}\right.\)

Vì \(x_1^2\) là nghiệm của phương trình (1) nên ta có : \(x_1^2-2\left(m+1\right)x+m^2+4=0\Leftrightarrow x_1^2=2\left(m+1\right)x_1-m^2-4\)

Ta lại có : \(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)x_1-m^2-4+2\left(m+1\right)x_2\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)\left(x_1+x_2\right)-m^2-4\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-m^2\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow4\left(m^2+2m+1\right)-m^2\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow m^2+8m-16\le0\)

\(\Leftrightarrow-10\le m\le2\)

Kết hợp điều kiện....