Bài 5

a) Ta có:

\(AC\perp AB\left(gt\right)\)

\(BE\perp AB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AC\) // \(BE\)

b) Do AC // BE (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{CEB}=\widehat{ACE}=72^0\) (so le trong)

Ta có:

\(\widehat{CEB}+\widehat{CEb}=180^0\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{CEb}=180^0-\widehat{CEB}\)

\(=180^0-72^0\)

\(=108^0\)

Bài 4

Ta có:

\(AC\perp AB\left(gt\right)\)

\(BE\perp AB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AC\) // \(BE\)

b) Do \(AC\) // \(BE\) (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{CDE}\) (so le trong)

Mà \(\widehat{ACD}+\widehat{CDE}=170^0\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=170^0:2=85^0\)

Sửa đề: \(\Delta ABC\) vuông tại A

a) Do A đối xứng với I qua M (gt)

\(\Rightarrow M\) trung điểm của AI

Do AM là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow M\) là trung điểm của BC

Do \(\Delta ABC\) vuông tại A (gt)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=90^0\)

Tứ giác \(ABIC\) có:

M là trung điểm AI (cmt)

M là trung điểm của BC (cmt)

\(\Rightarrow ABIC\) là hình bình hành

Mà \(\widehat{BAC}=90^0\) (cmt)

\(\Rightarrow ABIC\) là hình chữ nhật

b) Do ABIC là hình chữ nhật

\(\Rightarrow AI=BC\) (hai đường chéo của hình chữ nhật)

\(\Rightarrow MA=MC\)

\(\Rightarrow\Delta MAC\) cân tại M

Gọi D là giao điểm của MK và AC

Do M và K đối xứng qua AC (gt)

\(\Rightarrow MK\perp AC\) và \(D\) là trung điểm của MK

\(\Rightarrow MD\perp AC\)

Mà \(\Delta MAC\) cân tại M

\(\Rightarrow MD\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của \(\Delta MAC\)

\(\Rightarrow D\) là trung điểm của AC

Tứ giác AMCK có:

D là trung điểm của MK (cmt)

D là trung điểm của AC (cmt)

\(\Rightarrow AMCK\) là hình bình hành

Mà \(MK\perp AC\)

\(\Rightarrow AMCK\) là hình thoi

Số số hạng của A:

\(2025-0+1=2026\) (số hạng)

Do \(2026⋮2\) nên ta có thể nhóm các số hạng của A thành các nhóm mà mỗi nhóm gồm 2 số hạng như sau:

\(A=\left(3^0+3^1\right)+\left(3^2+3^3\right)+...+\left(3^{2024}+3^{2025}\right)\)

\(=4+3^2.\left(1+3\right)+...+3^{2024}.\left(1+3\right)\)

\(=4.\left(1+3^2+...+3^{2024}\right)⋮4\)

Vậy \(A⋮4\)

----------------

Do 2026 chia 3 dư 1 nên ta có thể nhóm các số hạng của A thành các nhóm mà mỗi nhóm có 3 số hạng, còn dư 1 số hạng như sau:

\(A=3^0+\left(3^1+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+...+\left(3^{2023}+3^{2024}+3^{2025}\right)\)

\(=1+3.\left(1+3+3^2\right)+3^4.\left(1+3+3^2\right)+...+3^{2023}.\left(1+3+3^2\right)\)

\(=1+3.13+3^4.13+...+3^{2023}.13\)

\(=1+13.\left(3+3^4+...+3^{2023}\right)\)

Mà \(13.\left(3+3^4+...+3^{2023}\right)⋮13\)

\(\Rightarrow A⋮̸13\)

------------------------

Do \(2026⋮2\) nên ta có thể nhóm các số hạng của A thành các nhóm mà mỗi nhóm gồm 2 số hạng như sau:

\(A=\left(3^0+3^1\right)+\left(3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5\right)+...+\left(3^{2024}+3^{2025}\right)\)

\(=4+3^2.\left(1+3\right)+3^2.\left(3^2+3^3\right)+...+3^2.\left(3^{2022}+3^{2023}\right)\)

\(=4+3^2.\left(1+3+3^2+3^3+...+3^{2022}+3^{2023}\right)\)

\(=4+9.\left(1+3+3^2+3^3+...+3^{2022}+3^{2023}\right)\)

Mà \(9.\left(1+3+3^2+3^3+...+3^{2022}+3^{2023}\right)⋮9\)

\(\Rightarrow4+9.\left(1+3+3^2+3^3+...+3^{2022}+3^{2023}\right)\) chia 9 dư 4

Vậy số dư trong phép chia A cho 9 là 4

Câu 4

ĐKXĐ: \(m\ne2\)

Để (d) // (Δ) thì:

\(2-m=-2\) và \(n+1\ne3\)

*) \(2-m=-2\)

\(m=2-\left(-2\right)\)

\(m=4\) (nhận)

*) \(n+1\ne3\)

\(n\ne3-1\)

\(n\ne2\)

Vậy \(m=4;n\ne2\) thì (d) // (Δ)

Bài 1

Gọi \(x\left(h\right),y\left(h\right)\) lần lượt là thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc \(\left(x,y>0\right)\)

Do hai người cùng làm xong công việc trong 18 giờ nên:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{18}\)  (1)

Do người thứ nhất làm trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 7 giờ thì được \(\dfrac{1}{3}\) công việc nên:

\(\dfrac{4}{x}+\dfrac{7}{y}=\dfrac{1}{3}\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{18}\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{7}{y}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Đặt \(u=\dfrac{1}{x};v=\dfrac{1}{y}\), ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}u+v=\dfrac{1}{18}\\4u+7v=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}4u+4v=\dfrac{2}{9}\\4u+7v=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}-3v=-\dfrac{1}{9}\\u+v=\dfrac{1}{18}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{27}\\\dfrac{1}{27}+v=\dfrac{1}{18}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{27}\\v=\dfrac{1}{18}-\dfrac{1}{27}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{27}\\v=\dfrac{1}{54}\end{matrix}\right.\)

Với \(u=\dfrac{1}{27}\Rightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow x=27\) (nhận)

Với \(v=\dfrac{1}{54}\Rightarrow\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{54}\Rightarrow y=54\) (nhận)

Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 27 giờ, người thợ thứ hai hoàn thành công việc trong 54 giờ

\(30=2.3.5\)

\(42=2.3.7\)

\(ƯCLN\left(30;42\right)=2.3=6\)

\(ƯC\left(30;42\right)=Ư\left(6\right)=\left\{1;2;3;6\right\}\)

\(\left|x-\dfrac{3}{4}\right|=\dfrac{1}{4}\)

\(x-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\) hoặc \(x-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{4}\)

*) \(x-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\)

\(x=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)

\(x=1\)

*) \(x-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{4}\)

\(x=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)

\(x=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(x=\dfrac{1}{2};x=1\)

\(\left|x\right|-2,2=1,3\)

\(\left|x\right|=1,3+2,2\)

\(\left|x\right|=3,5\)

\(x=-3,5\); \(x=3,5\)

ĐKXĐ: \(x\ge2\)

\(\sqrt{x-2}=\dfrac{2}{3}\)

\(x-2=\dfrac{4}{9}\)

\(x=\dfrac{4}{9}+2\)

\(x=\dfrac{22}{9}\) (nhận)

Vậy \(x=\dfrac{22}{9}\)