Bài 6

a) \(\Delta ABC\) cân tại A (gt)

\(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{B}=70^0\)

Ta có:

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\) (tổng ba góc trong \(\Delta ABC\))

\(\Rightarrow\widehat{A}=180^0-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=180^0-\left(70^0+70^0\right)=40^0\)

b) Do M là trung điểm của BC (gt)

\(\Rightarrow BM=CM\)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\) có:

\(BM=CM\left(cmt\right)\)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) (đối đỉnh)

\(MA=MD\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta DCM\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{DCM}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat{ABM}\) và \(\widehat{DCM}\) là hai góc so le trong

\(\Rightarrow AB\) // \(CD\)

Do đi cùng một quãng đường nên thời gian và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

Gọi \(x\left(h\right)\) là thời gian đi hết quãng đường AB với vận tốc mới bằng \(1,5\) lần vận tốc cũ

\(\Rightarrow x.1,5=3.1\)

\(\Rightarrow x=3:1,5=2\)

Vậy thời gian ô tô đi từ A đến B nếu nó đi với vận tốc mới bằng 1,5 lần vận tốc cũ là 2 giờ

A = -1 rồi còn làm gì nữa mà hỏi em?

Bài 5

a) Ta có:

\(AC\perp AB\left(gt\right)\)

\(BE\perp AB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AC\) // \(BE\)

b) Do AC // BE (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{CEB}=\widehat{ACE}=72^0\) (so le trong)

Ta có:

\(\widehat{CEB}+\widehat{CEb}=180^0\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{CEb}=180^0-\widehat{CEB}\)

\(=180^0-72^0\)

\(=108^0\)

Bài 4

Ta có:

\(AC\perp AB\left(gt\right)\)

\(BE\perp AB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AC\) // \(BE\)

b) Do \(AC\) // \(BE\) (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{CDE}\) (so le trong)

Mà \(\widehat{ACD}+\widehat{CDE}=170^0\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=170^0:2=85^0\)

Sửa đề: \(\Delta ABC\) vuông tại A

a) Do A đối xứng với I qua M (gt)

\(\Rightarrow M\) trung điểm của AI

Do AM là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow M\) là trung điểm của BC

Do \(\Delta ABC\) vuông tại A (gt)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=90^0\)

Tứ giác \(ABIC\) có:

M là trung điểm AI (cmt)

M là trung điểm của BC (cmt)

\(\Rightarrow ABIC\) là hình bình hành

Mà \(\widehat{BAC}=90^0\) (cmt)

\(\Rightarrow ABIC\) là hình chữ nhật

b) Do ABIC là hình chữ nhật

\(\Rightarrow AI=BC\) (hai đường chéo của hình chữ nhật)

\(\Rightarrow MA=MC\)

\(\Rightarrow\Delta MAC\) cân tại M

Gọi D là giao điểm của MK và AC

Do M và K đối xứng qua AC (gt)

\(\Rightarrow MK\perp AC\) và \(D\) là trung điểm của MK

\(\Rightarrow MD\perp AC\)

Mà \(\Delta MAC\) cân tại M

\(\Rightarrow MD\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của \(\Delta MAC\)

\(\Rightarrow D\) là trung điểm của AC

Tứ giác AMCK có:

D là trung điểm của MK (cmt)

D là trung điểm của AC (cmt)

\(\Rightarrow AMCK\) là hình bình hành

Mà \(MK\perp AC\)

\(\Rightarrow AMCK\) là hình thoi

Số số hạng của A:

\(2025-0+1=2026\) (số hạng)

Do \(2026⋮2\) nên ta có thể nhóm các số hạng của A thành các nhóm mà mỗi nhóm gồm 2 số hạng như sau:

\(A=\left(3^0+3^1\right)+\left(3^2+3^3\right)+...+\left(3^{2024}+3^{2025}\right)\)

\(=4+3^2.\left(1+3\right)+...+3^{2024}.\left(1+3\right)\)

\(=4.\left(1+3^2+...+3^{2024}\right)⋮4\)

Vậy \(A⋮4\)

----------------

Do 2026 chia 3 dư 1 nên ta có thể nhóm các số hạng của A thành các nhóm mà mỗi nhóm có 3 số hạng, còn dư 1 số hạng như sau:

\(A=3^0+\left(3^1+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+...+\left(3^{2023}+3^{2024}+3^{2025}\right)\)

\(=1+3.\left(1+3+3^2\right)+3^4.\left(1+3+3^2\right)+...+3^{2023}.\left(1+3+3^2\right)\)

\(=1+3.13+3^4.13+...+3^{2023}.13\)

\(=1+13.\left(3+3^4+...+3^{2023}\right)\)

Mà \(13.\left(3+3^4+...+3^{2023}\right)⋮13\)

\(\Rightarrow A⋮̸13\)

------------------------

Do \(2026⋮2\) nên ta có thể nhóm các số hạng của A thành các nhóm mà mỗi nhóm gồm 2 số hạng như sau:

\(A=\left(3^0+3^1\right)+\left(3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5\right)+...+\left(3^{2024}+3^{2025}\right)\)

\(=4+3^2.\left(1+3\right)+3^2.\left(3^2+3^3\right)+...+3^2.\left(3^{2022}+3^{2023}\right)\)

\(=4+3^2.\left(1+3+3^2+3^3+...+3^{2022}+3^{2023}\right)\)

\(=4+9.\left(1+3+3^2+3^3+...+3^{2022}+3^{2023}\right)\)

Mà \(9.\left(1+3+3^2+3^3+...+3^{2022}+3^{2023}\right)⋮9\)

\(\Rightarrow4+9.\left(1+3+3^2+3^3+...+3^{2022}+3^{2023}\right)\) chia 9 dư 4

Vậy số dư trong phép chia A cho 9 là 4

Câu 4

ĐKXĐ: \(m\ne2\)

Để (d) // (Δ) thì:

\(2-m=-2\) và \(n+1\ne3\)

*) \(2-m=-2\)

\(m=2-\left(-2\right)\)

\(m=4\) (nhận)

*) \(n+1\ne3\)

\(n\ne3-1\)

\(n\ne2\)

Vậy \(m=4;n\ne2\) thì (d) // (Δ)

Bài 1

Gọi \(x\left(h\right),y\left(h\right)\) lần lượt là thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc \(\left(x,y>0\right)\)

Do hai người cùng làm xong công việc trong 18 giờ nên:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{18}\)  (1)

Do người thứ nhất làm trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 7 giờ thì được \(\dfrac{1}{3}\) công việc nên:

\(\dfrac{4}{x}+\dfrac{7}{y}=\dfrac{1}{3}\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{18}\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{7}{y}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Đặt \(u=\dfrac{1}{x};v=\dfrac{1}{y}\), ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}u+v=\dfrac{1}{18}\\4u+7v=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}4u+4v=\dfrac{2}{9}\\4u+7v=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}-3v=-\dfrac{1}{9}\\u+v=\dfrac{1}{18}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{27}\\\dfrac{1}{27}+v=\dfrac{1}{18}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{27}\\v=\dfrac{1}{18}-\dfrac{1}{27}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{27}\\v=\dfrac{1}{54}\end{matrix}\right.\)

Với \(u=\dfrac{1}{27}\Rightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow x=27\) (nhận)

Với \(v=\dfrac{1}{54}\Rightarrow\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{54}\Rightarrow y=54\) (nhận)

Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 27 giờ, người thợ thứ hai hoàn thành công việc trong 54 giờ

\(30=2.3.5\)

\(42=2.3.7\)

\(ƯCLN\left(30;42\right)=2.3=6\)

\(ƯC\left(30;42\right)=Ư\left(6\right)=\left\{1;2;3;6\right\}\)