§1. Đại cương về phương trình

Điều kiện xác định : \(x\ge\frac{3}{2}\)

Ta có : \(5x-1=\left(\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x-3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow5x-1=3x-2+2x-3-2\sqrt{3x-2}.\sqrt{2x-3}\)

\(\Leftrightarrow-2=\sqrt{3x-2}.\sqrt{2x-3}\)

Vế trái của pt luôn nhỏ hơn 0 , vế phải của pt luôn lớn hơn hoặc bằng 0

=> VT < VP => pt vô nghiệm.

x vô nghiệm

UCT nào

Ta chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{a}+a+1\ge\dfrac{3}{4}a+2\)

Thật vậy, ta có: \(\dfrac{1}{a}+a+1=\dfrac{3}{4}a+\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{a}+1\ge\dfrac{3}{4}a+2\sqrt{\dfrac{1}{4}a.\dfrac{1}{a}}+1=\dfrac{3}{4}a+2\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+a+1\right)^3\ge\left(\dfrac{3}{4}a+2\right)^3\)

Tương tự: \(\left(\dfrac{1}{b}+b+1\right)^3\ge\left(\dfrac{3}{4}b+2\right)^3\)

Cộng vế theo vế, áp dụng AM-GMta được:

\(P\ge\left(\dfrac{3}{4}a+2\right)^3+\left(\dfrac{3}{4}b+2\right)^3=\left(\dfrac{3}{4}a+2+\dfrac{3}{4}b+2\right)-3\left(\dfrac{3}{4}a+2\right)\left(\dfrac{3}{4}b+2\right)\left(\dfrac{3}{4}a+2+\dfrac{3}{4}b+2\right)\)

\(P\ge\left[\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)+4\right]^3-3.\dfrac{\left(\dfrac{3}{4}a+2+\dfrac{3}{4}b+2\right)^2}{4}.\left[\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)+4\right]=85,75\)

GTNN của P là 85,75 khi a=b=2

ĐK: \(x\ge-2\)

Đặt \(a=\sqrt{x+2},b=\sqrt{x^2-2x+4}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a^2=2x+4\\b^2=x^2-2x+4\end{matrix}\right.\Rightarrow2a^2+b^2-9=x^2-1\)

\(pt\Leftrightarrow9\left(ab-2\right)=2\left(2a^2+b^2-9\right)\\ \Leftrightarrow9ab-18=4a^2+2b^2-18\\ \Leftrightarrow4a^2+2b^2-9ab=0\\ \Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(4a-b\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2b\\4a=b\end{matrix}\right.\)

\(a=2b\Rightarrow\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^2-2x+4}\Leftrightarrow x+2=4x^2-8x+16\Leftrightarrow4x^2-9x+14=0\)vô nghiệm

\(4a=b\Rightarrow4\sqrt{x+2}=\sqrt{x^2-2x+4}\Leftrightarrow16x+32=x^2-2x+4\Leftrightarrow x^2-18x-28=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=9+\sqrt{109}\left(TM\right)\\x=9-\sqrt{109}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{x-5}+\sqrt{x-3}-2\sqrt{x^2+2x-8}+4=0\left(1\right)\\ \Leftrightarrow\sqrt{x-5}+\sqrt{x-3}+4=2\sqrt{x^2+2x-8}\)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x-5\ge0\\x-3\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge5\\x\ge3\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x-5}+\sqrt{x-3}+4=2\sqrt{x^2+2x-8}\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{x-5}\right)^2+\left(\sqrt{x-3}\right)^2+4^2=\left(2\sqrt{x^2+2x-8}\right)^2\\ \Leftrightarrow x-5+x-3+16=4.\left(x^2+2x-8\right)\\ \Leftrightarrow x-5+x-3+16=4x^2+8x-32\\ \Leftrightarrow x-5+x-3+16-4x^2-8x+32=0\\ \Leftrightarrow-4x^2-6x+40=0\)

Ta có: \(\Delta=b^2-4ac=\left(-6\right)^2-4.\left(-4\right).40=676\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\left(-6\right)+\sqrt{676}}{2.\left(-4\right)}=-4\left(nhận\right)\\x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\left(-6\right)-\sqrt{676}}{2.\left(-4\right)}=\dfrac{5}{2}=2,5\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình (1) không có nghiệm thỏa mãn.

Mình nhầm chỗ \(x_1=-4\) là loại mà mình nhấn nhầm là nhận!

a)\(\sqrt{x^2+x-2}+\sqrt{x^2+2x-3}=\sqrt{x^2+4x-5}\left(1\right)\)

ĐK: \(\left[{}\begin{matrix}x\le-5\\x\ge1\end{matrix}\right.\left(a\right)}\)

Với x = 1 (1) đúng nên x = 1 là 1 nghiệm của (1)

Với \(x\ne1\) chia cả 2 vế của (1) cho \(\sqrt{x-1}\):

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x+5}\left(2\right)\)

ĐK: \(x\ge-5\)

Kết hợp với ĐK(a) =>\(x\ge1\left(b\right)\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow x+2+x+3+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=x+5\\ \Leftrightarrow x+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=0\\ \Leftrightarrow2\sqrt{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=-x\)

=>\(x\le0\)

Kết hợp với đk(b)=> không có \(x\ne1\) thỏa mãn pt(1)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x=1

a,M=0
<=>(x-1)².(x+2)=0
=>TH1:x-1=0 <=> x=1
=>TH2:x+2=0<=> x=-2
Vậy với x=1 hoặc x=-2 thì M=0
b,M>0
<=>(x-1)².(x+2)>0
=>TH1: x-1 >0 ; x+2>0
<=> x>1 ; x>-2
=> x>1
=>TH2: x-1 <0 ; x+2<0
<=> x<1 ; x<-2
<=> x<-2
Vậy với x >1 hoặc x<-2 thì M>0
c,M<0
<=>(x-1)².(x+2)<0
=>TH1 : x-1 >0 ; x+2 <0
<=> x>1 ; x<-2
=> Không có giá trị x
=>TH2: x-1 <0 ; x+2 >0
<=> x<1 ; x>-2
=> -2<x<1
Vậy với -2<x<1 thì M<0

a)TXĐ:\(x-1>0\Rightarrow x>1\)