Tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=\ln\left(x^2+1\right)-mx+1\) luôn đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\) là
(\(-\infty;-1\)].\(\left(-\infty;-1\right)\).\(\left[-1;1\right]\).[\(1;+\infty\)).Hướng dẫn giải:\(y'=\dfrac{2x}{x^2+1}-m.\) Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y'\ge0;\forall x\), hay là: \(m\le\dfrac{2x}{x^2+1}\) .
Đặt \(f\left(x\right)=\dfrac{2x}{x^2+1}\) và lập bảng biến thiên của \(f\left(x\right)\) :
\(f'\left(x\right)=\dfrac{\left(x^2+1\right).2-2x.2x}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{2\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\)
Ta có: \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{2x}{x^2+1}=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{\dfrac{2}{x}}{1+\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac{0}{1}=0\)
Bảng biến thiên của \(f\left(x\right)\) như sau:
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy miền giá trị của \(f\left(x\right)\) là \(\left[-1;1\right]\).
Vậy để \(m\le f\left(x\right);\forall x\) thì cần và đủ là \(m\le-1\).