Cho hàm số \(y=\dfrac{2x^2-3x+m}{x-m}\) (\(m\) là tham số).
Trong các giá trị sau của tham số \(m,\) giá trị nào làm cho hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu và hai giá trị cực đại \(\left(y_{CĐ}\right)\), cực tiểu \(\left(y_{CT}\right)\) thỏa mãn điều kiện \(\left|y_{CĐ}-y_{CT}\right|>8\sqrt{2}\) ?
\(m=-2\). \(m=1\). \(m=2\). \(m=0\). Hướng dẫn giải:\(y=\dfrac{2x^2-3x+m}{x-m}\)
\(y'=\dfrac{2x^2-4mx+2m}{\left(x-m\right)^2}=\frac{2\left(x^2-2mx+m\right)}{\left(x-m\right)^2}\)
Để hàm số cực đại, cực tiểu thì \(\Delta'=m^2-m>0\Leftrightarrow m< 0\) hoặc \(m>1\).
Gọi \(x_{CĐ},x_{CT}\) là hai nghiệm của phương trình \(y'=0\) thì :
\(\left|x_{CT}-x_{CĐ}\right|=2\sqrt{m^2-m}\).
Ta có nhận xét, tại các điểm cực trị của hàm \(y=\frac{u}{v}\) thì \(y'=\frac{v.u'-u.v'}{v^2}=0\), hay là \(v.u'=u.v'\Rightarrow v=\frac{u.v'}{u'}\), khi đó \(y_{ct,cđ}=\frac{u}{v}=\frac{u.u'}{u.v'}=\frac{u'}{v'}\).
Ta có \(\frac{u'}{v'}=\frac{4x-3}{1}=4x-3\)
Suy ra: \(y_{CT}=4x_{CT}-3;y_{CĐ}=4x_{CĐ}-3\)
\(\Rightarrow\left|y_{CT}-y_{CĐ}\right|=4\left|x_{CT}-x_{CĐ}\right|=8\sqrt{m^2-m}\)
Yêu cầu bài toán là \(\left|y_{CT}-y_{CĐ}\right|>8\sqrt{2}\Leftrightarrow4\left|x_{CT}-x_{CĐ}\right|>8\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow8\sqrt{m^2-m}>8\sqrt{2}\Leftrightarrow\sqrt{m^2-m}>\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow m^2-m>2\) \(\Leftrightarrow m^2-m-2>0\) \(\Leftrightarrow m< -1\) hay \(m>2\).
Từ đó giá trị cần tìm của \(m\) là \(m=-2.\)