Hàm số \(y=f\left(x\right)=x^3-3mx^2+3\left(m^2-1\right)x-m^3\) có đồ thị \(\left(C_m\right)\).
Mệnh đề nào dưới đây sai?
Với mọi \(m\), hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.Đường thẳng nối hai điểm cực trị luôn vuông góc với đường thẳng \(x-2y=0\).Đường thẳng nối hai điểm cực trị luôn đi qua điểm uốn của \(\left(C_m\right)\).Với mọi m, \(\left(C_m\right)\) luôn cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Hướng dẫn giải:\(y=f\left(x\right)=x^3-3mx^2+3\left(m^2-1\right)x-m^3=\left(x-m\right)^3-3x\)\(\Rightarrow y'=3\left(x-m\right)^2-3\) $y'$ luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1=m-1,x_2=m+1\) nên hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. Dễ tính được \(y_1=-3m+2,y_2=-3m-2\) và hai điểm cực trị của đồ thị là \(A_1\left(x_1;y_1\right),A_2\left(x_2;y_2\right)\). Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi \(A_1,A_2\) ở hai phía của trục hoành tức là \(y_1y_2< 0\Leftrightarrow\left(-3m-2\right)\left(-3m+2\right)< 0\Leftrightarrow-\dfrac{2}{3}< m< \dfrac{2}{3}.\) Vì vậy kết luận sai là "Với mọi m, \(\left(C_m\right)\) luôn cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt".