Để hàm số \(y=-\frac{x^3}{3}+\left(a-1\right)x^2+\left(a+3\right)x-4\) đồng biến trong khoảng $(0,3)$ thì giá trị của tham số $a$ là
\(a>-3\). \(-3< a< \frac{12}{7}\). \(a\ge\dfrac{12}{7}\). \(a< -3\). Hướng dẫn giải:\(y=-\frac{x^3}{3}+\left(a-1\right)x^2+\left(a+3\right)x-4\)
\(\Rightarrow y'=-x^2+2\left(a-1\right)x+a+3\)
\(\Leftrightarrow y'=-x^2+4+\left(a-1\right)\left(2x+1\right)\)
Để hàm đồng biến trên khoảng \((0;3)\) thì
\(y'=-x^2+4+(a-1)(2x+1)\geq 0\) với \(\forall x \in (0;3)\)
\(\Leftrightarrow (a-1)(2x+1)\geq x^2-4\)
Vì \(x\in (0;3)\Rightarrow 2x+1>0\), do đó điều trên tương đương với \(a-1\geq \frac{x^2-4}{2x+1}\)
\(\Leftrightarrow a\geq \frac{x^2-4}{2x+1}+1\Leftrightarrow a\geq \max (\frac{x^2-4}{2x+1}+1)\) (1)
Xét hàm \(y=\frac{x^2-4}{2x+1}+1 \Rightarrow y'=\frac{2(x^2+x+4)}{(2x+1)^2}>0\) nên hàm đồng biến
Do đó với \(x\in (0;3)\Rightarrow \frac{x^2-4}{2x+1}+1\in \left(\frac{0-4}{2.0+1}+1;\frac{3^2-4}{2.3+1}+1\right)\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2-4}{2x+1}+1\in (-3;\frac{12}{7})\) (2)
Từ \((1);(2)\Rightarrow a\geq \frac{12}{7}\).