Điều kiện để hàm số $y=x^{3}- 3x^{2}+(m+1)x+4m$ nghịch biến trên (-1; 1) là
$m \leq 10$. $m \leq -10$. $m \leq 2$. $-10 \leq m \leq 2$. Hướng dẫn giải:\(y'=3x^2-6x+m+1\)
Để $y$ nghịch biến trên (-1; 1) thì \(y'\le0\) trên $(-1;1)$.
Ta có $y'$ là tam thức bậc hai có hệ số $a$ dương, đồ thị là parabol có hướng lõm quay lên và đỉnh parabol có hoành độ bằng \(-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2.3}=1\). Vậy để \(y'\le0\) trên $(-1;1)$ thì ta có điều kiện sau: (xem hình vẽ)
\(\begin{cases}y'\left(-1\right)\le0\\y'\left(1\right)\le0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}3.\left(-1\right)^2-6.\left(-1\right)+m+1\le0\\3.1^2-6.1+m+1\le0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m+10\le0\\m-2\le0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m\le-10\\m\le2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m\le-10\).