Question

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : \(M=\frac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)

Answer 1

\(M=\frac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)

\(=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\)

\(=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{2}.\sqrt{y-2}}{\sqrt{2}.y}+\frac{\sqrt{3}.\sqrt{z-3}}{\sqrt{3}.z}\le\frac{1+x-1}{2x}+\frac{2+y-2}{2\sqrt{2}y}+\frac{3+z-3}{2\sqrt{3}z}\)

\(=\frac{x}{2x}+\frac{y}{2\sqrt{2}y}+\frac{z}{2\sqrt{3}z}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\)

Vậy GTLN của M là \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\) khi \(x=2;y=4;z=6\)