Question

Nếu a, b, c và x, y, z là các số thực thì:

\(4\left(a^2+x^2\right)\left(b^2+y^2\right)\left(c^2+z^2\right)\ge3\left(bcx+cay+abz\right)^2\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^2+x^2)[(cy+bz)^2+(bc)^2]\geq [a(cy+bz)+xbc]^2\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2+x^2)[(cy+bz)^2+(bc)^2]\geq 3(bcx+cay+abz)^2\)

Ta cần chứng minh:

\(4(b^2+y^2)(c^2+z^2)\geq 3[(cy+bz)^2+(bc)^2]\)

\(\Leftrightarrow b^2c^2+b^2z^2+c^2y^2+4y^2z^2-6cybz\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (b^2c^2+4y^2z^2-4cybz)+(b^2z^2+c^2y^2-2cybz)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (bc-2yz)^2+(bz-cy)^2\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm.

Answer 2

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^2+x^2)[(cy+bz)^2+(bc)^2]\geq [a(cy+bz)+xbc]^2\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2+x^2)[(cy+bz)^2+(bc)^2]\geq 3(bcx+cay+abz)^2\)

Ta cần chứng minh:

\(4(b^2+y^2)(c^2+z^2)\geq 3[(cy+bz)^2+(bc)^2]\)

\(\Leftrightarrow b^2c^2+b^2z^2+c^2y^2+4y^2z^2-6cybz\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (b^2c^2+4y^2z^2-4cybz)+(b^2z^2+c^2y^2-2cybz)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (bc-2yz)^2+(bz-cy)^2\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm.