Lời giải:
Cách 1:
Áp dụng BĐT S.Vacxo ta có:
\(\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\geq \frac{9}{1+xy+1+yz+1+xz}=\frac{9}{3+xy+yz+xz}(1)\)
Theo BĐT Cauchy ta có bổ đề quen thuộc:
\(xy+yz+xz\leq x^2+y^2+z^2\leq 3(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{xz+1}\geq \frac{9}{3+xy+yz+xz}\geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Cách 2:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương:
\(\frac{1}{xy+1}+\frac{xy+1}{4}\geq 2.\sqrt{\frac{1}{xy+1}.\frac{xy+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{yz+1}+\frac{yz+1}{4}\geq 2.\sqrt{\frac{1}{yz+1}.\frac{yz+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{xz+1}+\frac{xz+1}{4}\geq 2.\sqrt{\frac{1}{xz+1}.\frac{xz+1}{4}}=1\)
Cộng tất cả các BĐT trên theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{xz+1}\geq \frac{9-(xy+yz+xz)}{4}\geq \frac{9-3}{4}=\frac{3}{2}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{3}{2}\)
