Question

Giải các phương trình vô tỉ sau:

a) 3\(\sqrt{2+x}\)- 6\(\sqrt{2-x}\)+ 4\(\sqrt{4-x^2}\)= 10 - 3x

b) x + \(\sqrt{4-x^2}\) = 2 + 3x\(\sqrt{4-x^2}\)

Answer 1

Câu a)

ĐKXĐ:.....

Đặt \(\sqrt{2+x}=a; \sqrt{2-x}=b\Rightarrow a^2+b^2=4\)

PT đã cho tương đương với:

\(3\sqrt{2+x}-6\sqrt{2-x}+4\sqrt{(2-x)(2+x)}=4+3(2-x)\)

\(\Leftrightarrow 3a-6b+4ab=a^2+b^2+3b^2\)

\(\Leftrightarrow 3(a-2b)=a^2+4b^2-4ab=(a-2b)^2\)

\(\Leftrightarrow (a-2b)^2-3(a-2b)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a-2b=0\\ a-2b=3\end{matrix}\right.\)

Nếu \(a-2b=0\Leftrightarrow a^2=4b^2\Leftrightarrow 2+x=4(2-x)\)

\(\Rightarrow x=\frac{6}{5}\) (t/m)

Nếu \(a-2b=3\Leftrightarrow a=2b+3\Rightarrow \sqrt{x+2}=2\sqrt{2-x}+3\geq 3\)

(vô lý vì \(x\leq 2\rightarrow \sqrt{x+2}\leq 2\))

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=\frac{6}{5}$

Answer 2

Câu b)

ĐKXĐ: \(-2\leq x\leq 2\)

Đặt \(\sqrt{4-x^2}=a\) (\(a\geq 2)\) Ta có hpt sau:

\(\left\{\begin{matrix} a^2+x^2=4\\ x+a=2+3xa\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+x)^2-2ax=4\\ x+a=3xa+2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (3ax+2)^2-2ax=4\)

\(\Leftrightarrow 9a^2x^2+10ax=0\Leftrightarrow ax=0 \) hoặc $ax=\frac{-10}{9}$

Nếu \(ax=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ a=0\rightarrow x=\pm 2\end{matrix}\right.\)

Thử lại thấy $x=0; x=2$ thỏa mãn

Nếu \(ax=\frac{-10}{9}\Rightarrow x+a=\frac{-4}{3}\)

Theo định lý Vi-et đảo thì $x,a$ là nghiệm của pt:

\(X^2+\frac{4}{3}X-\frac{10}{9}=0\)

\((x,a)=(\frac{-2+\sqrt{14}}{3}; \frac{-2-\sqrt{14}}{3})\) và hoán vị. Thử lại ta thấy \(x=\frac{-2-\sqrt{14}}{3}\) thỏa mãn
Vậy........