Lời giải:
Gọi $T$ là giao điểm của $FC$ và $DE$
Vì $ME\perp AB, MF\perp AD, AB\perp AD$ nên:
$ME\parallel AD; MF\parallel AB$
Áp dụng định lý Ta-let cho các đường song song:
\(\frac{AE}{AB}=\frac{MD}{DB}=\frac{DF}{AD}\)
Mà $AB=AD\Rightarrow AE=DF$
Xét tam giác $AED$ và $DFC$ có:
$\widehat{A}=\widehat{D}=90^0$
$AD=DC$
$AE=DF$
$\Rightarrow \triangle AED=\triangle DFC$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ED=FC(\text{đpcm})\\ \widehat{D_1}=\widehat{C_1}\end{matrix}\right.\)
Từ $\widehat{D_1}=\widehat{C_1}$
$\Rightarrow \widehat{D_1}+\widehat{F_1}=\widehat{F_1}+\widehat{C_1}=90^0$
$\Leftrightarrow 180^0-\widehat{FTD}=90^0\Rightarrow \widehat{FTD}=90^0$
$\Rightarrow ED\perp FC$ (đpcm)
b) Gọi $H$ là giao của $BF$ và $DE$
Hoàn toàn tương tự phần a ta chứng minh được $\triangle BEC=\triangle AFB\Rightarrow BF\perp CE$
Vì $BF\perp CE, DE\perp CF$ nên $H$ là trực tâm của tam giác $CEF$
$\Rightarrow CH\perp FE(*)$
--------------------------
Gọi $N$ là giao của $CM$ và $EF$, $I$ là giao của $MF$ với $BC$
Xét tam giác $FME$ và $CIM$ có:
$\widehat{M}=\widehat{I}=90^0$
$ME=MI$ do dễ thấy $BEMI$ là hình vuông
$MF=AE=IC$
$\Rightarrow \triangle FME=\triangle CIM$
$\Rightarrow \widehat{MFE}=\widehat{ICM}$
Mà $\widehat{NMF}=\widehat{IMC}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow \widehat{MFE}+\widehat{NMF}=\widehat{ICM}+\widehat{IMC}=90^0$
$\Rightarrow \widehat{FNM}=90^0\Rightarrow CM\perp FE(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow C,M, H$ thẳng hàng
Do đó $BF, DE, CM$ đồng quy.
