Question

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho:

\(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\ge2014\)

Answer 1

Ta có \(\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\dfrac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{n-n-1}=-\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Vậy \(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-2+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=-1+\sqrt{n+1}=\sqrt{n+1}-1\ge2014\Leftrightarrow\sqrt{n+1}\ge2015\Leftrightarrow n+1\ge2015^2\Leftrightarrow n\ge2015^2-1\)Vậy số tự nhiên n nhỏ nhất là 2015²-1