\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow BC^2=\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB^2+AC^2-BC^2\)
\(\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\Rightarrow AG^2=\frac{1}{9}\left(AB^2+AC^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)\)
\(\Leftrightarrow AG^2=\frac{1}{9}\left(AB^2+AC^2+AB^2+AC^2-BC^2\right)\)
\(\Leftrightarrow AG^2=\frac{2\left(AB^2+AC^2\right)-BC^2}{9}\)
Tương tự với 2 cái còn lại
\(GA=\frac{2\left(AB^2+AC^2\right)-BC^2}{9}=\frac{10}{9}\)
\(GB=\frac{2\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2}{9}=\frac{31}{9}\)
\(GC=\frac{2\left(AC^2+BC^2\right)-AB^2}{9}=\frac{46}{9}\)
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}=\frac{-\left(GA^2+GB^2+GC^2\right)}{2}=-\frac{29}{6}\)
