Lời giải:
Kẻ $CH\perp AD(H\in AD)$
Dễ thấy $BCHA$ là hình vuông do có 3 góc vuông $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{H}=90^0$ và 2 cạnh kề $AB=BC$
$\Rightarrow \widehat{ACH}=45^0$ và $BC=AH$
Mà $BC=\frac{AD}{2}\Rightarrow \frac{AD}{2}=AH$
$\Rightarrow AH=HD$
$\Rightarrow \triangle CAH=\triangle CDH$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{DCH}=\widehat{ACH}=45^0$
$\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{DCH}+\widehat{ACH}=90^0$
Gọi $K$ là giao của $MN, AC$ thì $\widehat{KCN}=\widehat{ACD}=90^0$
$\Rightarrow \triangle AMK\sim \triangle NCK$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AK}{MK}=\frac{NK}{CK}$
$\Rightarrow \triangle MKC\sim \triangle AKN$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{ANK}=\widehat{MCK}$
Hay $\widehat{ANM}=\widehat{BCA}=45^0$
Tam giác vuông $ANM$ vuông tại $M$ có $\widehat{ANM}=45^0$ thì $ANM$ là tam giác vuông cân tại $M$.
