Question

a) Cho x, y, z thuộc R. Cmr: \(\left(x+y+z\right)^2>=3.\left(xy+yz+zx\right)\)

b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x + y +z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M = \(\frac{5}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\)

Answer 1

a/

Với mọi số thực x;y;z ta luôn có:

\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2yz\ge3xy+3yz+3zx\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\) (đpcm)

b/

\(M=2\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}\right)+\frac{1}{xy+yz+zx}\)

\(M\ge2.\frac{9}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+xy+yz+zx}+\frac{1}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)

\(M\ge\frac{18}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{3}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{21}{\left(x+y+z\right)^2}=21\)

\(M_{min}=21\) khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)