Câu hỏi của quangduy

Question

Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình $3\sqrt{4-3x^2}-2\sqrt{x^3+4x^2+4}\ge m$ có nghiệm thuộc đoạn [-1;1].

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Xét $f\left(x\right)=3\sqrt{4-3x^2}-2\sqrt{x^3+4x^2+4}$ trên $\left[-1;1\right]$

Để $f\left(x\right)\ge m$ có nghiệm $\Leftrightarrow m\le\max\limits_{\left[-1;1\right]}f\left(x\right)$

$f'\left(x\right)=\frac{-9x}{\sqrt{4-3x^2}}-\frac{3x^2+8x}{\sqrt{x^3+4x^2+4}}=0$

$\Leftrightarrow-x\left(\frac{9}{\sqrt{4-3x^2}}+\frac{3x+8}{\sqrt{x^3+4x^2+4}}\right)=0$

$\Rightarrow x=0$ (phần ngoặc to luôn dương với mọi $x\ge-1$)

Từ BBT ta thấy $\max\limits_{\left[-1;1\right]}f\left(x\right)=f\left(0\right)=2$

$\Rightarrow m\le2$Câu trả lời: Xét $f\left(x\right)=3\sqrt{4-3x^2}-2\sqrt{x^3+4x^2+4}$ trên $\left[-1;1\right]$

Để $f\left(x\right)\ge m$ có nghiệm $\Leftrightarrow m\le\max\limits_{\left[-1;1\right]}f\left(x\right)$

$f'\left(x\right)=\frac{-9x}{\sqrt{4-3x^2}}-\frac{3x^2+8x}{\sqrt{x^3+4x^2+4}}=0$

$\Leftrightarrow-x\left(\frac{9}{\sqrt{4-3x^2}}+\frac{3x+8}{\sqrt{x^3+4x^2+4}}\right)=0$

$\Rightarrow x=0$ (phần ngoặc to luôn dương với mọi $x\ge-1$)

Từ BBT ta thấy $\max\limits_{\left[-1;1\right]}f\left(x\right)=f\left(0\right)=2$

$\Rightarrow m\le2$

Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ