Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho DM=MA
1) Chứng minh: Tam giác AMB = Tam giác DMC và DC\(\perp\)AC
2) Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho EA=AB, EM cắt AC tại N. Chứng minh: NC=2.NA
3) Chứng minh: \(\frac{AB+AC-BC}{2}< AM< \frac{AB+AC}{2}\)
1)Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta DMC\) có:
\(\widehat{BMA}=\widehat{DMC}\) (đđ)
BM = MC (gt)
AM = DM (gt)
⇒ \(\Delta AMB\) = \(\Delta DMC\) (c.g.c)
⇒ \(\widehat{ABM}=\widehat{BCM}\) (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này nằm ở vị trí So le trong nên:
⇒ AB // DC
Ta lại có: AB ⊥ AC
⇒ DC ⊥ AC
2)
Ta có E ∈ tia đối của tia AB mà EA = EB
⇒ A là trung điểm của EB
Xét ΔBCE có 2 trung tuyến EM và CA cắt nhau tại N
⇒ N là trọng tâm của ΔBCE
⇒ NC = 2NA (ĐPCM)
3)
Từ ΔABM và ΔACM có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB< BM+AM\\AC< AM+MC\end{matrix}\right.\)
⇒ AB + AC < BM + AM + AM + MC
⇒ AB + AC < BC + 2AM
⇒ 2 AM < AB + AC - BC
⇒ AM > \(\frac{\text{AB + AC - BC}}{2}\) (1)
Ta có: ΔAMB = ΔDMC (câu 1)
⇒ AB = DC
Xét trong ΔACD có:
AD < DC + CA
⇔ 2AM < AB + AC
⇒ AM < \(\frac{\text{AB + AC}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2), ta có:
\(\frac{\text{AB + AC - BC}}{2}\) < AM < \(\frac{\text{AB + AC}}{2}\) (ĐPCM)
