Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm (O) đường kính BC cắt AC,AB lần lượt tại D và E. H là giao điểm của BD và CE, K là giao điểm của DE và AH, I là giao điểm của AH và BC.
a) Chứng minh: AEHD nội tiếp và xác định tâm M
b) Chứng minh: OM vuông góc DE
c) Chứng minh: MD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d) Chứng minh: MD^2= MK.MI
Các bạn giúp mình với! Mình cần gấp! Kèm hình nữa nha!
a) Ta có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\)(góc nt chắn nửa đường tròn)
=> \(BD\perp AC,CE\perp AB\)
Ta có \(\widehat{AEH}=90^o\)(CE\(\perp\)AB) => 3 điểm A,E,H cùng thuộc đường tròn đường kính AH
\(\widehat{ADH}=90^o\) (BD\(\perp\)AC) => 3 điểm A,D,H cùng thuộc đường tròn đường kính AH
=> 4 điểm A,E,H,D cùng thuộc đtròn đk AH
=> tứ giác AEHD nt đg tròn đkính AH (tâm M là trung điểm của AH)
b)Xét tam giác AEH vuông tại E, EM là trung tuyến => EM=MA=MH
Xét tam giác ADH vuông tại D, DM là trung tuyến => DM=MA=MH
=> DM=EM
=> M thuộc đường trung trực của DE
Lại có OD=OE=R
=> O thuộc đường trung trực của DE
=> OM vuông góc với DE (đpcm)
c) Ta có: MA=MD
=> tam giác MAD cân tại M
=> \(\widehat{MAD}=\widehat{MDA}\)
Xét tứ giác AEHD nt => \(\widehat{MAD}=\widehat{DEH}\)(cùng chắn cung DH)
Lại có \(\widehat{DEH}=\widehat{DBC}\)(cùng chắn cung DC)
tam giác OBD cân tại O => \(\widehat{OBD}=\widehat{ODB}\)
Suy ra \(\widehat{MDA}=\widehat{ODB}\)
Mà \(\widehat{MDA}+\widehat{MDH}=90^o\Rightarrow\widehat{MDH}+\widehat{HDO}=90^o\)
hay \(\widehat{MDO}=90^o\)
Mà M nằm ngoài đường tròn
D nằm trên đường tròn
=> MD là tiếp tuyến của (O) (đpcm)
