Ôn tập cuối năm môn Đại số 11

M thuộc d, quỹ tích những điểm N thỏa mãn \(2\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{0}\) là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k=-2\)

\(\Rightarrow\) Quỹ tích N là đường thẳng d' có pt \(x+y-6=0\)

d' không cắt (C)  nên không tồn tại cặp điểm M, N nào thỏa mãn yêu cầu

ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{22}{27}\)

Đặt \(\sqrt{3x-2}=y\ge\dfrac{2}{3}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=3\sqrt{3y-2}-2\\y^2=3x-2\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\sqrt{3y-2}=z\ge0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=3z-2\\z^2=3y-2\end{matrix}\right.\)

Ta nhận được 1 hệ hoán vị vòng quanh rất cơ bản: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=3z-2\\y^2=3x-2\\z^2=3y-2\end{matrix}\right.\)

Các hàm \(f\left(t\right)=t^2\) và \(g\left(t\right)=3t-2\) cùng đơn điệu tăng trên \(\left(0;+\infty\right)\) nên hệ trên có nghiệm duy nhất \(x=y=z\)

\(\Rightarrow x^2-3x+2=0\Rightarrow x=\left\{1;2\right\}\)

Lời giải:

$\frac{u_{n-1}}{u_n}=\frac{n^2}{n^2-1}>0$ với mọi $n\geq 2$ nên $u_{n-1}, u_n$ luôn cùng dấu.

Mà $u_1=2017>0$ nên $u_n>0$ với mọi $n=1,2,...$

Mặt khác:

$n^2(u_{n-1}-u_n)=u_{n-1}>0\Rightarrow u_{n-1}>u_n$ nên dãy $(u_n)$ là dãy giảm.

Dãy giảm và bị chặn dưới nên $u_n$ hội tụ. Đặt $\lim u_n=a$. 

Ta có: $a=n^2(a-a)\Rightarrow a=0$

Vậy $\lim u_n=0$