# Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Hồng Phúc CTV 18 giờ trước (21:54)

Chứng minh: $x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\left(1\right)$

$x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)$

$\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\ge xy\left(x+y\right)$

$\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3\ge4xy\left(x+y\right)$

$\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy$

$\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0$ đúng

$\Rightarrow\left(1\right)$ đúng

Áp dụng BĐT $x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)$

$\dfrac{a^3+b^3}{ab}+\dfrac{b^3+c^3}{bc}+\dfrac{c^3+a^3}{ca}$

$\ge\dfrac{ab\left(a+b\right)}{ab}+\dfrac{bc\left(b+c\right)}{bc}+\dfrac{ca\left(c+a\right)}{ca}$

$=2\left(a+b+c\right)$

Bình luận (1)
Hồng Phúc CTV 4 giờ trước (12:33)

a, $\left|x+2\right|+\left|-2x+1\right|\le x+1\left(1\right)$

TH1: $x\le-2$

$\Rightarrow x+1\le-1< \left|x+2\right|+\left|-2x+1\right|$

$\Rightarrow$ vô nghiệm

TH2: $-2< x\le\dfrac{1}{2}$

$\left(1\right)\Leftrightarrow x+2-2x+1\le x+1$

$\Leftrightarrow x\ge1$

$\Rightarrow x\in\left[1;\dfrac{1}{2}\right]$

TH3: $x>\dfrac{1}{2}$

$\left(1\right)\Leftrightarrow x+2+2x-1\le x+1$

$\Leftrightarrow x\le0$

$\Rightarrow$ vô nghiệm

Vậy $x\in\left[1;\dfrac{1}{2}\right]$

Bình luận (0)
Hồng Phúc CTV 3 giờ trước (12:46)

b, $\left|x+2\right|-\left|x-1\right|< x-\dfrac{3}{2}\left(2\right)$

TH1: $x\le-2$

$\left(2\right)\Leftrightarrow-x-2+x-1< x-\dfrac{3}{2}$

$\Leftrightarrow x>-\dfrac{3}{2}$

$\Rightarrow$ vô nghiệm

TH2: $-2< x\le1$

$\left(2\right)\Leftrightarrow x+2+x-1< x-\dfrac{3}{2}$

$\Leftrightarrow x< -\dfrac{5}{2}$

$\Rightarrow$ vô nghiệm

TH3: $x>1$

$\left(2\right)\Leftrightarrow x+2-x+1< x-\dfrac{3}{2}$

$\Leftrightarrow x>\dfrac{9}{2}$

$\Rightarrow x\in\left(\dfrac{9}{2};+\infty\right)$

Vậy $x\in\left(\dfrac{9}{2};+\infty\right)$

Bình luận (0)
Hồng Phúc CTV 3 giờ trước (12:58)

c, Tương tự a,b

d, ĐK: $x\ne-2;x\ne1$

$\left|\dfrac{-5}{x+2}\right|< \left|\dfrac{10}{x-1}\right|$

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left|x+2\right|}< \dfrac{2}{\left|x-1\right|}$

$\Leftrightarrow2\left|x+2\right|>\left|x-1\right|$

$\Leftrightarrow4\left(x+2\right)^2>\left(x-1\right)^2$

$\Leftrightarrow4\left(x^2+4x+4\right)>x^2-2x+1$

$\Leftrightarrow3x^2+18x+15>0$

$\Leftrightarrow...$

e, ĐK: $x\ne-1$

$\left|\dfrac{2-3\left|x\right|}{1+x}\right|\le1$

$\Leftrightarrow\left|2-3\left|x\right|\right|\le\left|x+1\right|$

$\Leftrightarrow\left(2-3\left|x\right|\right)^2\le\left(x+1\right)^2$

$\Leftrightarrow4+9x^2-12\left|x\right|\le x^2+2x+1$

$\Leftrightarrow8x^2-12\left|x\right|-2x+3\le0$

Đến đây dễ rồi, xét hai trường hợp để phá dấu giá trị tuyệt đối rồi đối chiếu điêì kiện.

Bình luận (0)
Hồng Phúc CTV 3 giờ trước (13:11)

a, $\left|4x-8\right|\le8$

$\Leftrightarrow\left(\left|4x-8\right|\right)^2\le64$

$\Leftrightarrow16x^2-64x+64\le64$

$\Leftrightarrow16x^2-64x\le0$

$\Leftrightarrow16x\left(x-4\right)\le0$

$\Leftrightarrow0\le x\le4$

b, $\left|x-5\right|\le4$

$\Leftrightarrow\left(\left|x-5\right|\right)^2\le16$

$\Leftrightarrow x^2-10x+25\le16$

$\Leftrightarrow x^2-10x+9\le0$

$\Leftrightarrow1\le x\le9$

$\Rightarrow x\in\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\right\}$

c, $\left|2x+1\right|< 3x$

TH1: $x\ge-\dfrac{1}{2}$

$\left|2x+1\right|< 3x$

$\Leftrightarrow2x+1< 3x$

$\Leftrightarrow x>1$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in Z\\x\in\left(1;2018\right)\end{matrix}\right.$

TH2: $x< -\dfrac{1}{2}$

$\left|2x+1\right|< 3x$

$\Leftrightarrow-2x-1< 3x$

$\Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{5}\left(l\right)$

Vậy $\left\{{}\begin{matrix}x\in Z\\x\in\left(1;2018\right)\end{matrix}\right.$

Bình luận (0)
Hồng Phúc CTV 3 giờ trước (13:15)

d, $\left|x+1\right|+\left|x\right|< 3$

$\Leftrightarrow x+1+x+2\left|x^2+x\right|< 9$

$\Leftrightarrow\left|x^2+x\right|< 4-x$

Xét hai trường hợp để phá dấu giá trị tuyệt đối

e, Tương tự câu d

Bình luận (0)
Hồng Phúc CTV 3 giờ trước (13:19)

a, $\left|3x+1\right|>2$

$\Leftrightarrow\left(\left|3x+1\right|\right)^2>4$

$\Leftrightarrow9x^2+6x+1>4$

$\Leftrightarrow9x^2+6x-3>0$

$\Leftrightarrow3\left(3x-1\right)\left(x+1\right)>0$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>\dfrac{1}{3}\\x< -1\end{matrix}\right.$

b, $\left|2x-1\right|\le1$

$\Leftrightarrow\left(\left|2x-1\right|\right)^2\le1$

$\Leftrightarrow4x^2-4x+1\le1$

$\Leftrightarrow4x\left(x-1\right)\le0$

$\Leftrightarrow0\le x\le1$

Bình luận (0)
Hồng Phúc CTV 3 giờ trước (13:24)

c, ĐK: $x\ne13$

$\left|\dfrac{2}{x-13}\right|>\dfrac{8}{9}$

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left|x-13\right|}>\dfrac{4}{9}$

$\Leftrightarrow4\left|x-13\right|< 9$

$\Leftrightarrow16\left(x^2-26x+169\right)< 81$

$\Leftrightarrow16x^2-416x+2623< 0$

$\Leftrightarrow\dfrac{43}{4}< x< \dfrac{61}{4}$

$\Rightarrow$ Có hai giả trị thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 16 giờ trước (0:15)

$\left(3^x;3^y;3^z\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a;b;c>0\\ab+bc+ca=abc\end{matrix}\right.$

BĐT cần chứng minh trở thành:

$\dfrac{a^2}{a+bc}+\dfrac{b^2}{b+ca}+\dfrac{c^2}{c+ab}\ge\dfrac{a+b+c}{4}$

Thật vậy, ta có:

$VT=\dfrac{a^3}{a^2+abc}+\dfrac{b^3}{b^2+abc}+\dfrac{c^3}{c^2+abc}$

$VT=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}$

Áp dụng AM-GM:

$\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge\dfrac{3a}{4}$

Làm tương tự với 2 số hạng còn lại, cộng vế với vế rồi rút gọn, ta sẽ có đpcm

Bình luận (0)
Hồng Phúc CTV Hôm kia lúc 22:23
Bình luận (1)
Hồng Phúc CTV Hôm kia lúc 20:48

ĐK: $x>2018$

Áp dụng BĐT Cosi:

$y=\dfrac{x-2017}{\sqrt{x-2018}}$

$=\dfrac{x-2018+1}{\sqrt{x-2018}}$

$=\sqrt{x-2018}+\dfrac{1}{\sqrt{x-2018}}\ge2$

$min=2\Leftrightarrow x=2019$

Bình luận (1)
Hồng Phúc CTV Hôm kia lúc 20:58

a, $y=\dfrac{\sqrt{x-2}}{x}=\sqrt{\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}}\ge0$

$min=0\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}=0\Leftrightarrow x=2$

b, Áp dụng BĐT Cosi:

$f\left(x\right)=\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{x-1+1}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\ge2$

$minf\left(x\right)=2\Leftrightarrow x=2$

Bình luận (0)
tthnew Hôm kia lúc 13:15

Cách này đòi hỏi sự kiên nhẫn và kinh nghiệm.

Cần chứng minh:

${\dfrac {4 \left( xy+zx+yz \right) \left( x+y+z \right) ^{7}}{ 243}}- \left( {x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3} \right) \left( {x}^{3}{y}^{3}+{ x}^{3}{z}^{3}+{y}^{3}{z}^{3} \right) \geqslant 0.\quad(1)$

Đặt

$\text{M}=4\,{z}^{7}+ \left( 757\,x+757\,y \right) {z}^{6}+84\, \left( x+y \right) ^{2}{z}^{5}+140\, \left( x+y \right) ^{3}{z}^{4}\\\quad\quad+ \left( 1598 \,{x}^{4}+4205\,{x}^{3}y+4971\,{x}^{2}{y}^{2}+4205\,x{y}^{3}+1598\,{y} ^{4} \right) {z}^{3}\\\quad \quad+84\, \left( x+y \right) ^{5}{z}^{2}+28\, \left( x +y \right) ^{6}z\geqslant 0$

Ta có:

$(1)\Leftrightarrow \dfrac{1}{243}xy\cdot M+{\dfrac { \left( x+y \right) \left( {x}^{2}+11\,xy+{y}^{2} \right) \left( 2\,x-y \right) ^{2} \left( x-2\,y \right) ^{2}xy}{243}}\\\quad\quad+{ \dfrac { \left( x+y \right) z \left( x+y+z \right) \left( {x}^{2}+2\,x y+11\,zx+{y}^{2}+11\,yz+{z}^{2} \right) \left( 2\,y-z+2\,x \right) ^{ 2} \left( y-2\,z+x \right) ^{2}}{243}}\geqslant 0.$

Đẳng thức xảy ra khi $...$

Bình luận (0)