Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

\(\int\dfrac{xe^x}{\left(x+1\right)^2}dx\)

\(=\int e^x.\dfrac{\left(x+1\right)-1}{\left(x+1\right)^2}dx=\int e^x.[\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}]dx\)

\(=\int\dfrac{e^x}{x+1}dx-\int\dfrac{e^x}{\left(x+1\right)^2}dx=\dfrac{1}{x+1}e^x+\int\dfrac{e^x}{\left(x+1\right)^2}dx-\int\dfrac{e^x}{\left(x+1\right)^2}dx\)

\(=\dfrac{e^x}{x+1}+C\)

Ko chac :v

\(I=\int\dfrac{x.e^x}{\left(x+1\right)^2}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=xe^x\\dv=\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=e^x\left(x+1\right)dx\\v=-\dfrac{1}{x+1}\end{matrix}\right.\)

\(I=\dfrac{-xe^x}{x+1}+\int e^xdx=\dfrac{-xe^x}{x+1}+e^x+C=\dfrac{e^x}{x+1}+C\)

Nếu đề là: \(I=\int\limits^1_0\dfrac{e^xx}{\left(x+1\right)^2}dx\) thì có thể tính bằng tích phân từng phần:

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^x.x\\dv=\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\left(e^x+e^x.x\right)dx=e^x\left(x+1\right)dx\\v=-\dfrac{1}{x+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=-\dfrac{x.e^x}{x+1}|^1_0+\int\limits^1_0e^xdx=\dfrac{e^x}{x+1}|^1_0=...\)

Trong chương trình toán của VN thì tích phân này không tính được bạn nhé

Biểu thức là \(\dfrac{x.e^x}{\left(x+1\right)^2}\) thì tính được

1. Đề bài chắc chắn không chính xác, hàm này không thể tìm được nguyên hàm

2. 

Trên thực tế, do d và d' vuông góc nên thể tích sẽ được tính bằng:

\(V=\dfrac{1}{6}AB.CD.d\left(d;d'\right)\) trong đó \(d\left(d;d'\right)\) là k/c giữa 2 đường thẳng d và d' (có thể áp dụng thẳng công thức tọa độ)

Còn nguyên nhân dẫn tới công thức tính đó thì:

d có vtcp \(\left(7;5;3\right)\) còn d' có vtcp \(\left(2;-1;-3\right)\) nên d và d' vuông góc

Phương trình d dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=7+7t'\\y=5+5t'\\z=3t'\end{matrix}\right.\)

Gọi (P) là mp chứa d' và vuông góc d thì pt (P) có dạng: 

\(7x+5y+3\left(z-2\right)=0\Leftrightarrow7x+5y+3z-6=0\)

Gọi H là giao điểm (P) và d \(\Rightarrow H\left(\dfrac{105}{83};\dfrac{75}{83};-\dfrac{204}{83}\right)\)

Số xấu dữ quá.

Tính khoảng cách từ điểm H (đã biết) đến đường thẳng d' (đã biết), gọi kết quả là \(h\) (đây thực chất là khoảng cách giữa d và d').

Vậy \(V_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.AB.\dfrac{1}{2}.h.CD=...\)

Minh họa hình vẽ cho công thức thể tích bên trên:

Ta có: \(V_{ABCD}=V_{AHCD}-V_{BHCD}\)

\(=\dfrac{1}{3}AH.S_{HCD}-\dfrac{1}{3}BH.S_{HCD}=\dfrac{1}{3}\left(AH-BH\right)S_{HCD}\)

\(=\dfrac{1}{3}AB.S_{HCD}=\dfrac{1}{3}AB.\dfrac{1}{2}.d\left(H;CD\right).CD\)

\(=\dfrac{1}{6}.AB.CD.d\left(AB;CD\right)\)

Trong trường hợp A; B nằm khác phía so với H thì hoàn toàn tương tự:

\(V_{ABCD}=V_{AHCD}+V_{BHCD}=\dfrac{1}{3}AH.S_{HCD}+\dfrac{1}{3}BH.S_{HCD}\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(AH+BH\right)S_{HCD}=\dfrac{1}{3}AB.S_{HCD}=...\) kết quả vẫn hoàn toàn giống bên trên

\(I=\int e^xcos2xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^x\\dv=cos2xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=e^xdx\\v=\dfrac{1}{2}sin2x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}e^xsin2x-\dfrac{1}{2}\int e^xsin2xdx\)

Xét \(I_1=\int e^xsin2xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^x\\dv=sin2xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=e^xdx\\v=-\dfrac{1}{2}cos2x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1=-\dfrac{1}{2}e^xcos2x+\dfrac{1}{2}\int e^xcos2xdx=-\dfrac{1}{2}e^xcos2x+\dfrac{1}{2}I\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}e^xsin2x-\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{2}e^xcos2x+\dfrac{1}{2}I\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{5}{4}I=\dfrac{1}{2}e^xsin2x+\dfrac{1}{4}e^xcos2x+C\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{2}{5}e^xsin2x+\dfrac{1}{5}e^xcos2x+C\)

Lời giải:

Đặt \(u=\ln (x+\sqrt{x^2+1}); dv=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx\)

\(\Rightarrow du=\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}; v=\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}\)

\(\Rightarrow \int \frac{x\ln (x+\sqrt{x^2+1})}{\sqrt{x^2+1}}dx=\int udv=uv-vdu=\sqrt{x^2+1}\ln (x+\sqrt{x^2+1})-\int dx\)

\(=\sqrt{x^2+1}\ln (x+\sqrt{x^2+1})-x+C\)

Hàm là \(f\left(x\right)=\left(x^2-3x+3\right).e^2\)  hay \(\left(x^2-3x+3\right)e^x\) bạn?

Nếu hàm là \(f\left(x\right)=\left(x^2-3x+3\right)e^2\) thì đơn giản là bạn khảo sát như khảo sát hàm \(g\left(x\right)=x^2-3x+3\)

Trước hết ta xét: \(g\left(x\right)=\dfrac{1}{x+a}=\left(x+a\right)^{-1}\) với a là hằng số bất kì

\(g'\left(x\right)=-1.\left(x+a\right)^{-2}=\left(-1\right)^1.1!.\left(x+a\right)^{-\left(1+1\right)}\) 

\(g''\left(x\right)=-1.\left(-2\right).\left(x+a\right)^{-3}=\left(-1\right)^2.2!.\left(x+a\right)^{-\left(2+1\right)}\)

Từ đó ta dễ dàng tổng quát được:

 \(g^{\left(n\right)}\left(x\right)=\left(-1\right)^n.n!.\left(x+a\right)^{-\left(n+1\right)}=\dfrac{\left(-1\right)^n.n!}{\left(x+a\right)^{n+1}}\)

Xét: \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+1}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=-\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{1}{x}\right)+\dfrac{5}{8}\left(\dfrac{1}{x+2}\right)+\dfrac{5}{8}\left(\dfrac{1}{x-2}\right)\)

Áp dụng công thức trên ta được:

\(f^{\left(30\right)}\left(1\right)=\dfrac{1}{4}.\dfrac{\left(-1\right)^{30}.30!}{1^{31}}+\dfrac{5}{8}.\dfrac{\left(-1\right)^{30}.30!}{\left(1+2\right)^{31}}+\dfrac{5}{8}.\dfrac{\left(-1\right)^{30}.30!}{\left(1-2\right)^{31}}\)

Bạn tự rút gọn kết quả nhé

\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+1}{x^3}-4x\) hay \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+1}{x^3-4x}\) bạn?