Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Cái trong căn có phải là x² + 1 ko bro ?

Phép đặt Euler \(\sqrt{x^2+3}=x+t\)

Nói rồi nên không muốn nói lại nữa

Đây là định lý về giá trị trung bình trong tích phân.

Việc chứng minh nó khá vô nghĩa, vì giống như chứng minh công thức tích phân vậy, đều xuất phát từ việc chia nhỏ vô hạn và tính tổng.

Cho nên, chứng minh để làm gì?

\(\dfrac{d}{dx}\left(f\left(x\right)\right)\equiv f'\left(x\right)\)

\(\dfrac{1}{sinx}dx=\dfrac{sinx}{sin^2x}dx=\dfrac{sinx}{1-cos^2x}dx=\dfrac{d\left(cosx\right)}{cos^2x-1}\)

Hệ số bất định:

\(\dfrac{x^2-3}{x\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{bx}{x^2+1}+\dfrac{cx}{x^2+2}\)

Cứ áp dụng công thức \(\left(ln\left|u\right|\right)'=\dfrac{u'}{u}\) thôi

Còn câu dưới thì: \(\int\dfrac{axdx}{x^2\sqrt{x^2+a}}\)

Đặt \(u=\sqrt{x^2+a}\Rightarrow x^2=u^2-a\Rightarrow xdx=udu\)

\(\Rightarrow I=\int\dfrac{a.u}{u\left(u^2-a\right)}du\)

Nguyên hàm hữu tỉ khá cơ bản, tách ra bằng hệ số bất định

Làm xuôi thì đơn giản, tính \(F'\left(x\right)\) là xong (chịu khó biến đổi)

Làm ngược thì nhìn biểu thức hơi thiếu thân thiện

\(\int\dfrac{2\sqrt{2}\left(x^2-1\right)}{x^4+1}dx=\int\dfrac{2\sqrt{2}\left(x^2-1\right)}{\left(x^2-x\sqrt{2}+1\right)\left(x^2+x\sqrt{2}+1\right)}dx\)

Phân tách hệ số bất định:

\(\dfrac{2\sqrt{2}\left(x^2-1\right)}{\left(x^2-x\sqrt{2}+1\right)\left(x^2+x\sqrt{2}+1\right)}=\dfrac{a\left(2x-\sqrt{2}\right)}{x^2-x\sqrt{2}+1}+\dfrac{b\left(2x+\sqrt{2}\right)}{x^2+x\sqrt{2}+1}\)

Quan tâm tử số: \(a\left(2x-\sqrt{2}\right)\left(x^2+x\sqrt{2}+1\right)+b\left(2x+\sqrt{2}\right)\left(x^2-x\sqrt{2}+1\right)\)

\(=2\left(a+b\right)x^3+\sqrt{2}\left(a-b\right)x^2+\sqrt{2}\left(b-a\right)\)

Đồng nhất 2 tử số: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=0\\a-b=2\\\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-1\end{matrix}\right.\)

Do đó:

\(\dfrac{2\sqrt{2}\left(x^2-1\right)}{x^4+1}=\dfrac{2x-\sqrt{2}}{x^2-x\sqrt{2}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{2}}{x^2+x\sqrt{2}+1}\)

Đáp án C là đáp án đúng.

Đừng nhầm lẫn đáp án B, đó là 1 công thức sai, công thức đúng là: \(S=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|dx\)

\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2-1}{x^2}=1-\dfrac{1}{x^2}\)

\(\int f\left(x\right)dx=\int\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)dx=\int1dx-\int x^{-2}dx\)

=\(x-\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=x-\dfrac{x^{-1}}{-1}+C=x+\dfrac{1}{x}+C\)

C=-1 ta được phương án A(ko tm câu hỏi)

C=0 ta được phương án B(ko tm câu hỏi)

C=2 ta được phương án C(ko tm câu hỏi)

=>chọn D