Chương 2: TỔ HỢP. XÁC SUẤT

Lời giải:

Gọi số cần tìm là $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5}$

 Vì số đó nhỏ hơn $25000$ nên $a_1=1$ hoặc $a_1=2$

Nếu $a_1=1$:

Chọn $a_5$ có $4$ cách chọn

$(a_2,a_3,a_4)$ có $5.4.3=60$ cách chọn

$\Rightarrow$ có $4.5.4.3=240$ cách chọn

Nếu $a_1=2$

+) $a_5=0$ thì có $3$ cách chọn $a_2$, $4.3=12$ cách chọn $(a_3,a_4)$. Tổng có $3.12=36$ cách

+) $a_5=4$ thì tương tự, cũng có $36$ cách

+) $a_5=6$ thì có $4$ cách chọn $a_2$, $4.3=12$ cách chọn $(a_3,a_4)$. Tổng có $4.12=48$ cách

Vậy th $a_1=2$ có $120$ cách

Tổng, có: $120+240=360$ cách chọn.

Một tuần có 7 ngày

Do có 12 người bạn nên ngày thứ nhất bạn A có 12 cách chọn 1 người bạn để thăm

Ngày thứ 2 có 11 cách chọn (loại trừ người đã thăm ngày đầu)

Ngày thứ 3 có 10 cách chọn (loại trừ 2 người đã thăm)

...

Ngày thứ 7 có 6 cách chọn

Do đó số cách là:

\(12.11.10.9.8.7.6=3991680\)

Tập hợp {0;1;2;...9} có 10 phần tử

Do đó số cách lập 4 vị trí cuối cùng là: \(10^4\) cách

Theo quy tắc nhân ta có số biển thỏa mãn:

\(26.9.10^4=2340000\)

Có 25 số nguyên dương nhỏ hơn 26

Do đó theo quy tắc nhân ta có số ghế thỏa mãn:

\(24.25=600\)

Không gian mẫu: \(C_{40}^4\)

a. Số cách thỏa mãn: \(1.1.C_{38}^2=C_{38}^2\)

Xác suất: \(P=\dfrac{C_{38}^2}{C_{40}^4}\)

b. Số cách thỏa mãn: \(1.2.C_{37}^2\)

Xác suất: \(\dfrac{2.C_{37}^2}{C_{40}^4}\)

c. Số cách: \(1.1.1.C_{36}^1=36\)

Xác suất: \(\dfrac{36}{C_{40}^4}\)

Câu c:

Chọn lớp trưởng: có 1 cách

Chọn bí thư đoàn: có 1 cách

Chọn lớp phó học tập: có 1 cách

Còn lại 37 học sinh, nhưng loại trừ đi thủ quỹ nên chỉ còn 36

Chọn 1 bạn còn lại trong 36 bạn này: \(C_{36}^1\) cách

Theo quy tắc nhân ta có số cách thỏa mãn: \(1.1.1.C_{36}^1\)

Câu b đề bài không quá rõ ràng (ko rõ theo ý đề bài thì có được phép xuất hiện trường hợp có mặt cùng lúc cả lớp trưởng, lớp phó học tập và thủ quỹ hay không). Theo cách hiểu của mình thì mình loại trừ trường hợp này ra (do đó kết quả câu này có thể thay đổi tùy ý hiểu của người ra đề)

Chọn lớp trưởng: có 1 cách

Chọn 1 người trong số 2 người (lớp phó học tập và thủ quỹ): \(C_2^1=2\) cách

Chọn 2 người từ 37 người còn lại (đã loại ra lớp trưởng, lớp phó học tập, thủ quỹ) \(C_{37}^2\) cách

Theo quy tắc nhân: có \(1.2.C_{37}^2\) cách thỏa mãn

(Đây là cách làm trong trường hợp hiểu đề bài không cho 3 người đồng thời xuất hiện)

n(Ω) = \(C_{40}^4=91390\)

Kí hiệu A : "giáo viên gặp được lớp trưởng "    

             B : " giáo viên gặp được bí thư chi đoàn"

             C : " giáo viên gặp được thủ quỹ "

             D : " giáo viên gặp được lớp phó "

 => P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = \(\dfrac{C_4^1}{C_{40}^4}\) ~ 0,00004

a) Cần tính \(P\left(A\cap B\right)\) = P(A) . P(B) = 0,00004²

b) Cần tính \(P\left(\left(A\cap D\right)\cup\left(A\cap C\right)\right)\\ =P\left(A\cap D\right)+P\left(A\cap C\right)-P\left(A\cap D\right).P\left(A\cap C\right)\\ =P\left(A\right).P\left(D\right)+P\left(C\right).P\left(A\right)-P\left(A\right).P\left(D\right).P\left(A\right).P\left(C\right)\\ =2P^2\left(A\right)-P^4\left(A\right)\\ \)  

c) cần tính \(P\left(A\right).P\left(B\right).P\left(D\right).\left(1-P\left(C\right)\right)\)

Gọi số có 5 chữ số dạng \(\overline{abcde}\)

a có 9 cách chọn, b có 9 cách, c có 8 cách, d có 7 cách, e có 6 cách

\(\Rightarrow n\left(\Omega\right)=9.9.8.7.6=27216\)

- Nếu de cùng lẻ: chọn de từ 5 chữ số lẻ và xếp thứ tự: \(A_5^2=20\) cách

a có 7 cách chọn, b có 7, c có 6 cách \(\Rightarrow20.7.7.6=5880\) số

- Nếu de cùng chẵn:

+ de có chứa số 0: có \(1.4.2!.A_8^3=2688\) cách

+ de không chứa số 0: có \(A_4^2.7.7.6=3528\)

Tổng cộng: \(5880+2688+3528=12096\) số

Xác suất: \(P=\dfrac{12096}{27216}=\dfrac{4}{9}\)

Có 5 viên bi lẻ

Số cách lấy 2 viên bất kì: \(C_{10}^2\)

2 viên bi có tích là lẻ khi cả 2 đều lẻ

Số cách lấy: \(C_5^2\)

Xác suất: \(P=\dfrac{C_5^2}{C_{10}^2}=\dfrac{2}{9}\)

3.

a. Mỗi vị trí có 8 cách chọn, do đó có thể lập \(3^8\) chữ số

b. Số số thỏa mãn: \(8.7.6=...\)

c. Chữ số hàng đơn vị phải là số chẵn \(\Rightarrow\) có 4 cách chọn

Hai chữ số còn lại có \(7.6\) cách

Tổng: \(4.7.6=...\)

d. Chia X làm 3 tập: \(A=\left\{3;6\right\}\) gồm các chữ số chia hết cho 3

\(B=\left\{1;4;7\right\}\) gồm các số chia 3 dư 1

\(C=\left\{2;5;8\right\}\) gồm các số chia 3 dư 2

Số được lập thỏa mãn khi các TH sau xảy ra: (3 số được chọn nằm cùng 1 tập), (3 số được chọn nằm ở 3 tập khác nhau)

\(\Rightarrow3!+3!+3!.C_2^1.C_3^1.C_3^1=...\)

4.

Gọi chữ số cần lập là \(\overline{abc}\)

a.

a có 6 cách chọn, b và c mỗi vị trí có 7 cách chọn

\(\Rightarrow6.7.7=...\) số

b. 

a có 6 cách chọn (khác 0), b có 6 cách chọn (khác a), c có 5 cách chọn (khác a và b)

\(\Rightarrow6.6.5=...\) số

c.

- Nếu \(c=0\Rightarrow\) a có 6 cách chọn, b có 5 cách chọn \(\Rightarrow6.5\) số

- Nếu \(c\ne0\Rightarrow c\) có 3 cách chọn (2;4;6), a có 5 cách chọn (khác c và 0), b có 5 cách chọn (khác a và c) \(\Rightarrow3.5.5\) số

Tổng cộng: \(6.5+3.5.5=...\) số

4.

d.

Chia X làm 3 tập: \(A=\left\{0;3;6\right\}\) ; \(B=\left\{1;4\right\}\) ; \(C=\left\{2;5\right\}\)

Số được lập sẽ chia hết cho 3 khi: (3 chữ số cùng thuộc 1 tập), (3 chữ số nằm ở 3 tập khác nhau)

Th1: 3 chữ số cùng thuộc 1 tập thì chúng chỉ có thể cùng thuộc A (vì B và C ít hơn 3 phần tử)

Số số thỏa mãn: \(3!-2!=4\)

TH2: 3 chữ số thuộc 3 tập khác nhau:

- Nếu số được chọn từ A là 0 \(\Rightarrow\) có 1 cách chọn, từ B và C đều có \(C_2^1\) cách

\(\Rightarrow\) Có \(1.C_2^1.C_2^1=...\) bộ

Hoán vị chúng và loại trừ trường hợp 0 đứng đầu: \(\left(3!-2!\right).1.C_2^1.C_2^1=16\)

- Nếu số được chọn từ A không phải số 0 \(\Rightarrow\) có 2 cách, chọn 1 số từ B và C vẫn có \(C_2^1.C_2^1=4\) cách

\(\Rightarrow\) Có \(2.4=8\) bộ

Hoán vị chúng: \(3!.8=48\) số

Vậy có tổng cộng: \(4+16+48=...\) số