Bài 7: Tứ giác nội tiếp

3: MD^2=MI*MA

=>MD/MA=MI/MD

=>ΔMDI đồng dạng với ΔMAD

=>góc MDI=góc MAD

DNIC nội tiếp

=>góc NDI=góc NCI

=>góc MAD=góc NCI

=>góc NCI=góc KCI

=>C,K,N thẳng hàng

c: AH//OC

=>góc MAE=góc ACB=góc AFE

Xét ΔMAE và ΔMFA có

góc MAE=góc MFA

góc AME chung

=>ΔMAE đồng dạng với ΔMFA

=>MA^2=ME*MF

ΔTAM vuông tại A có KA vuông góc TM

nên MA^2=MK*MT=ME*MF

=>MK/MF=ME/MT

=>ΔMKE đồng dạng với ΔMFT

=>góc MKE=góc MFT

=>EFTK nội tiếp

mà góc AKI=góc ATI=90 độ

nên EFTK nội tiếp đường tròn đường kính AI

=>góc IAE=góc IKE=góc MKE

=>góc IAE=góc TFE

góc IAE=góc EBA

=>góc TFE=góc ABE=góc FBE

BCEF nội tiế dfdường tròn tâm N đường kính BC

=>NE=NF

=>góc FBE=1/2*sđ cung EF=1/2*góc ENF

=>góc TFE=1/2(180 độ-2*góc NFE)

=>góc TFE=90d dộ-góc NFE

=>góc TFN=90 độ

=>góc NFC+góc TFC=90 độ

mà NF=NC

nên ΔNFC cân tại N

=>góc NFC=góc NCF

ΔCHD vuông tại D

=>góc NCF+góc CHD=90 độ

=>góc TFC=góc CHD

mà góc THF=góc CHD

nên góc TFC=góc THF

=>ΔTHF cân tại T

=>TF=TH=TA

=>ĐPCM

c: góc MCK=góc MAC
góc NAE=góc MCI

=>góc MCK=góc MCI

Chứng minh tương tự, ta được: góc MBK=góc MBI

=>I đối xứng K qua BC

3: Gọi I là điểm đối xứng của O qua BC, OI cắt BC tại N

=>N là trung điểm chung của OI và BC và I,N cố định

BH//CD; CH//BD

=>BHCD là hbh

=>N là trung điểm của HD

ON là đường trung bình của ΔAHD 

=>AH=2ON

=>AH=OI=2ON

AH//OI

=>AHOI là hbh

=>IH=OA=R

=>H thuộc (I;R) cố định

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-\sqrt{y}=0\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\sqrt{x}=1\Rightarrow x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow y=\dfrac{1}{4}\)

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm \(S=\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4}\right)\)

Bạn ơi chỉ mình câu c với đc kh ạ. Mình mới tìm ra góc ACD = góc AHE à, còn cái nào nữa để chứng mình đồng dạng v ạ

3.2:

Theo vi ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=m^2+m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1+x_2\right)^2=\left(2m+2\right)^2=4m^2+8m+4\\4x_1x_2=4m^2+4m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4m+4=2\left(2m+2\right)=2\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)=4m^2+8m+4-4m^2-4m-4m-4=0\)

Vậy hệ thức liên hệ giữa \(x_1\) và \(x_2\) mà không phụ thuộc vào tham số m là \(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)\)

2: x1+x2=2m+2; x1x2=m^2+m

(x1+x2)^2-4x1x2

=4m^2+8m+4-4m^2-4m=4m+4

=>(x1+x2)^2-4x1x2-2(x1+x2)=4m+4-4m-4=0 ko phụ thuộc m