Tính tích phân của hàm số chứa Ln:
\(I=\int_{\varepsilon}^{\varepsilon^2}\left(\frac{1}{\ln^2x}-\frac{1}{\ln x}\right)dx\)
MỌI NGƯỜI GIÚP MÌNH CÂU TÍCH PHÂN NÀY VỚI!!!!!!!!
Tính tích phân của hàm số chứa Ln:
\(I=\int_{\varepsilon}^{\varepsilon^2}\left(\frac{1}{\ln^2x}-\frac{1}{\ln x}\right)dx\)
MỌI NGƯỜI GIÚP MÌNH CÂU TÍCH PHÂN NÀY VỚI!!!!!!!!
đặt t = lnx
tôi ko biết \(\varepsilon\) trong bài là gì, tuy nhiên nếu nó là số bất kì thì xét 2 TH sau để biết đk t
TH1: \(\varepsilon\in\left(0;1\right)\)
TH2: \(\varepsilon>1\)
khi nào sử dụng phương pháp đổi biến khi nào dùng phương pháp từng phần vậy ạ. bạn nào biết rõ thì chỉ mình với.
Cho f '(x) >0 với mọi x thuộc [x, dương vô cực)' f (0)=0. Chứng minh với a>=0, b>=0, b thuộc tập xác định của f^-1 (Hàm đảo của f(x) chứ ko phải lũy thừa) thì ta sẽ có:
\(\int_0^af\left(x\right)dx+\int_0^bf^{-1}\left(y\right)dy>=ab\)
Bỏ lâu quá nên quên, thằng con nó nhờ giải dùm cái này mà mình nghĩ cái này tích phân này ko xác định được vì phân thức này không liên tục trên đoạn 0 đến 2. Không biết có đúng ko. Bạn nào xác nhận dùm nha.
Tích phân của 1 / (2x^3 - 2x - 5) cận dưới 0, cận trên 2.
Ông bố của năm đây rồi :) Tết nhất ntn mà bác vẫn có tâm lên đây nghiên cứu tích phân cho con
Câu trả lời là suy đoán của bác đúng rồi đấy ạ. Hàm số không liên tục trong đoạn $[0,2]$ nên không tồn tại tích phân ạ.
\(\int_0^{\frac{\Pi}{2}}c\text{os}^2x\left(1-sin^3x\right)dx\)
2) \(\int_0^{\frac{\Pi}{4}}\frac{sin\left(x-\frac{\Pi}{4}\right)}{sin2x+2\left(1+s\text{inx}+c\text{ox}\right)}dx\)
hộ mk vs nha
1)
\(I=\int\left(cos^2x-cos^2x\cdot sin^3x\right)dx\\ =\int cos^2x\cdot dx-\int cos^2x\cdot sin^3x\cdot dx\\ =\frac{1}{2}\int\left(cos2x+1\right)dx+\int cos^2x\left(1-cos^2x\right)d\left(cosx\right)\\ =\frac{1}{4}sin2x+\frac{1}{2}+\frac{cos^3x}{3}-\frac{cos^5x}{5}+C\)
....
2) Xét riêng mẫu số:
\(sin2x+2\left(1+sinx+cosx\right)\\ =\left(sin2x+1\right)+2\left(sinx+cosx\right)+1\\ =\left(sinx+cosx\right)^2+2\left(sinx+cosx\right)+1\\ =\left(sinx+cosx+1\right)^2\\ =\left[\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right]^2\)
Khi đó:
\(I_2=\int\frac{sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{\left[\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right]^2}dx\\ =-\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{d\left[\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right]}{\left[\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right]^2}\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1}+C=\frac{1}{2cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1}\)
...
1) \(\int ln^3xdx\)
2) \(\int_0^1\left(x+sin^2x\right)c\text{os}xdx\)
3)\(\int x\left(e^{2x}+\sqrt[3]{x+1}\right)dx\)
Câu 1)
\(I=\int \ln ^3 xdx\). Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln ^3x\\ dv=dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{3\ln ^2x}{x}dx\\ v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=x\ln ^3x-3\int \ln^2xdx\)
Tiếp tục nguyên hàm từng phần cho \(\int \ln ^2xdx\) như trên, ta suy ra:
\(\int\ln ^2xdx=x\ln^2x-2\int \ln x dx\).
Tiếp tục nguyên hàm từng phần cho \(\int \ln xdx\Rightarrow \int \ln xdx=x\ln x-x+c\)
Do đó mà \(I=x\ln ^3x-3(x\ln^2x-2x\ln x+2x)+c\)
\(\Leftrightarrow I=x\ln^3x-3x\ln^2x+6x\ln x-6x+c\)
Câu 2)
\(I=\int ^{1}_{0}(x+\sin ^2x)\cos x dx=\int ^{1}_{0}x\cos xdx+\int ^{1}_{0}\sin^2x\cos xdx\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x\\ dv=\cos xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\sin x\end{matrix}\right.\Rightarrow \int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+c\)
\(\Rightarrow \int ^{1}_{0} x\cos xdx=\sin 1+\cos 1-1\)
Còn \(\int ^{1}_{0}\sin^2x\cos xdx=\int ^{1}_{0}\sin ^2xd(\sin x)=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{\sin ^3x}{3}=\frac{\sin^31}{3}\)
\(\Rightarrow I=-1+\sin 1+\cos 1+\frac{\sin ^3 1}{3}\approx 0,0173\)
Câu 3:
Đối với \(\int xe^{2x}dx\)
\(\left\{\begin{matrix} u=x\\ dv=e^{2x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\int e^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \int xe^{2x}=\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{2}\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}+c\)
Đối với \(\int x\sqrt[3]{x+1}dx=\int \sqrt[3]{(x+1)^4}dx-\int \sqrt{x+1}dx=\frac{3(x+1)^\frac{7}{3}}{7}-\frac{3}{4}(x+1)^{\frac{4}{3}}+c\)
\(\Rightarrow \int x\sqrt[3]{x+1}dx=\frac{3(x+1)^{\frac{4}{3}}(4x-3)}{28}\)
Do đó mà \(\int x(e^{2x}-\sqrt[3]{x+1})dx=\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}+\frac{3(x+1)^{\frac{4}{3}}(4x-3)}{28}+c\)
1.2+2.3+3.4+.....+277.278
Đặt \(A=1\cdot2+2\cdot3+...+277\cdot278\)
\(3A=1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot\left(4-1\right)+...+277\cdot278\cdot\left(279-276\right)\)
\(3A=1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4-1\cdot2\cdot3+...+277\cdot278\cdot279-276\cdot277\cdot278\)
\(3A=277\cdot278\cdot279\Rightarrow A=\frac{277\cdot278\cdot279}{3}=7161558\)
1) \(\int ln\frac{\left(1+s\text{inx}\right)^{1+c\text{os}x}}{1+c\text{os}x}dx\)
2) \(\int\left(xlnx\right)^2dx\)
3) \(\int\frac{3xcosx+2}{1+cot^2x}dx\)
4)\(\int\frac{2}{c\text{os}2x-7}dx\)
5)\(\int\frac{1+x\left(2lnx-1\right)}{x\left(x+1\right)^2}dx\)
6) \(\int\frac{1-x^2}{\left(1+x^2\right)^2}dx\)
7)\(\int e^x\frac{1+s\text{inx}}{1+c\text{os}x}dx\)
8) \(\int ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)dx\)
9)\(\int\frac{xln\left(1+x\right)}{\left(1+x^2\right)^2}dx\)
10) \(\int\frac{ln\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^4}dx\)
11)\(\int\frac{x^3lnx}{\sqrt{x^2+1}}dx\)
12)\(\int\frac{xe^x}{_{ }\left(e^x+1\right)^2}dx\)
13) \(\int\frac{xln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{x+\sqrt{1+x^2}}dx\)
giúp mk đc con nào thì giúp nha
Câu 2)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln ^2x\\ dv=x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=2\frac{\ln x}{x}dx\\ v=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow I=\frac{x^3}{3}\ln ^2x-\frac{2}{3}\int x^2\ln xdx\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} k=\ln x\\ dt=x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} dk=\frac{dx}{x}\\ t=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int x^2\ln xdx=\frac{x^3\ln x}{3}-\int \frac{x^2}{3}dx=\frac{x^3\ln x}{3}-\frac{x^3}{9}+c\)
Do đó \(I=\frac{x^3\ln^2x}{3}-\frac{2}{9}x^3\ln x+\frac{2}{27}x^3+c\)
Câu 3:
\(I=\int\frac{2}{\cos 2x-7}dx=-\int\frac{2}{2\sin^2x+6}dx=-\int\frac{dx}{\sin^2x+3}\)
Đặt \(t=\tan\frac{x}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sin x=\frac{2t}{t^2+1}\\ dx=\frac{2dt}{t^2+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=-\int \frac{2dt}{(t^2+1)\left ( \frac{4t^2}{(t^2+1)^2}+3 \right )}=-\int\frac{2(t^2+1)dt}{3t^4+10t^2+3}=-\int \frac{2d\left ( t-\frac{1}{t} \right )}{3\left ( t-\frac{1}{t} \right )^2+16}=\int\frac{2dk}{3k^2+16}\)
Đặt \(k=\frac{4}{\sqrt{3}}\tan v\). Đến đây dễ dàng suy ra \(I=\frac{-1}{2\sqrt{3}}v+c\)
Câu 6)
\(I=-\int \frac{\left ( 1-\frac{1}{x^2} \right )dx}{x^2+2+\frac{1}{x^2}}=-\int \frac{d\left ( x+\frac{1}{x} \right )}{\left ( x+\frac{1}{x} \right )^2}=-\frac{1}{x+\frac{1}{x}}+c=-\frac{x}{x^2+1}+c\)
Câu 8)
\(I=\int \ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)dx=\int \ln (x+1)dx-\int \ln (x-1)dx\)
\(\Leftrightarrow I=\int \ln (x+1)d(x+1)-\int \ln (x-1)d(x-1)\)
Xét \(\int \ln tdt\) ta có:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln t\\ dv=dt\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dt}{t}\\ v=t\end{matrix}\right.\Rightarrow \int \ln tdt=t\ln t-\int dt=t\ln t-t+c\)
\(\Rightarrow I=(x+1)\ln (x+1)-(x+1)-(x-1)\ln (x-1)+x-1+c\)
\(\Leftrightarrow I=(x+1)\ln(x+1)-(x-1)\ln(x-1)+c\)
1). \(\int\limits^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos2x}{\cos^2x\sin^2x}dx=a+b\sqrt{3}\left(a,b\in Q\right)\).Tính giá trị của biểu thức
A=a+b.
????
2). \(I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin x\left(\sin x+\frac{\cos2x}{\sqrt{1+3\cos x}}\right)dx+a\pi-\frac{b}{c}\left(a,b,c\in Q\right).\)Với \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản.Tính giá trị của biểu thức A=a+b+c.
bạn nào làm được mấy câu này không.??giúp mình với..
Mình giải giúp b câu 1 này
Ở phần mẫu bạn biến đổi \(cos^2xsin^2x=\frac{1}{4}\left(4cos^2xsin^2x\right)=\frac{1}{4}sin^22x\)
Đặt t = sin2x => \(d\left(t\right)=2cos2xdx\)
Đổi cận \(x=\frac{\pi}{4}=>t=1\) \(x=\frac{\pi}{3}=>t=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Ta có biểu thức trên sau khi đổi biến và cận
\(\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_1\frac{\frac{1}{2}dt}{\frac{1}{4}t^2}=\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_1\frac{2}{t^2}dt=\left(-\frac{2}{t}\right)\)lấy cận từ 1 đến \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(=-\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}-\left(-\frac{2}{1}\right)=2-4\frac{\sqrt{3}}{3}\) => a=2 và b=-4/3 vậy A=2/3 nhé
Câu 1)
Ta có:
\(I=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos 2x}{\cos^2 x\sin^2 x}dx=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos^2x-\sin ^2x}{\cos^2 x\sin^2 x}dx\)
\(=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{\sin^2 x}-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{\cos ^2x}=-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}d(\cot x)-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}d(\tan x)\)
\(=-\left ( \frac{\sqrt{3}}{3}-1 \right )-(\sqrt{3}-1)=2-\frac{4}{3}\sqrt{3}\Rightarrow a+b=\frac{2}{3}\)
Câu 2)
\(I=\underbrace{\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin ^2xdx}_{A}+\underbrace{\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{\sin x\cos 2xdx}{\sqrt{1+3\cos x}}}_{B}\)
Có \(A=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\)\(\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\left ( \frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4} \right )=\frac{\pi}{4}\)
\(B=-\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{(2\cos ^2x-1)d(\cos x)}{\sqrt{1+3\cos x}}\). Ta đặt \(\sqrt{1+3\cos x}=t\)
\(B=B=\int ^{2}_{1}\frac{\left [ \frac{2(t^2-1)^2}{9}-1\right ]d\left ( \frac{t^2-1}{3} \right )}{t}=\frac{2}{27}\int ^{2}_{1}\left ( 2t^4-4t^2-7 \right )dt\)
\(=\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|\frac{2}{27}\left ( \frac{2t^5}{5}-\frac{4t^3}{3}-7t \right )=\frac{-118}{405}\)
\(\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{4}\\ b=-118\\ c=405\end{matrix}\right.\Rightarrow a+b+c=287,25\)
Bài này mà ngồi trong phòng thi mà giải tay thì chết cmnr. Bạn lên youtube xem anh theluc giải bằng casio cho nhanh.
Mọi người giải tự luận giúp mình nha.
Tính các tích phân sau:
a).\(\int\limits^e_1x^3ln^2xdx=\dfrac{ae^4+b}{32}\) .Giá trị của \(\dfrac{b}{a}\) la : A.-1/32 B.1/32 C.-1/5 D.3/32
b). \(_{\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0x^2cosxdx}\)
A.1 B.2 C.4 D.5
c).\(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\left(1+x\right)cos2xdx=\dfrac{1}{a}+\dfrac{\pi}{b}\) Giá trị của a.b la: A.32 B.12 C.24 D.2
d).\(\int\limits^a_0\dfrac{cos2x}{1+2sin2x}dx=\dfrac{1}{4}ln3\)
A.a=\(\dfrac{\pi}{2}\) B.a=\(\dfrac{\pi}{3}\) C.a=\(\dfrac{\pi}{4}\) D.a=\(\pi\)