Bài 2: Phương trình mặt phẳng

2 mp (P) và (Q) // với nhau.→vecto pháp tuyến của mp này cũng là vecto pt của mặt phẳng kia, tìm vecto pt của một trong hai mặt phẳng bằng cách tìm đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng d₁ và d_2.

de ***** tu lam di

Anh (chị) vui lòng kiểm tra điều kiện của x_A và x_B giúp em ạ!

Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I là trung điểm của AB, với I(2;3;0)

Bán kính của (S) là \(R=\frac{AB}{2}=\sqrt{3}\)

Phương trình của (S) : \(\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2+z^2=3\)

Gọi \(M\left(0;0;t\right)\in Oz\)

Do \(V_{MABC}=5\) nên \(\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\overrightarrow{AM}\right|=5\Leftrightarrow\left|11+4t\right|=5\)

                                                                     \(\Leftrightarrow\left|11=4t\right|=15\Leftrightarrow\begin{cases}11+4t=15\\11+4t=-15\end{cases}\)

                                                                     \(\Leftrightarrow\begin{cases}t=1\Rightarrow M\left(0;0;1\right)\\t=-\frac{13}{2}\Rightarrow M\left(0;0;-\frac{13}{2}\right)\end{cases}\)

Gọi B(x;y), ta có \(OA\perp OC\) nên OABC là hình chữ nhật =>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x-2=0\\y-0=4\\z-0=0\end{cases}\) \(\Rightarrow B\left(2;4;0\right)\)

Ta có \(\overrightarrow{OB}=\left(2;4;0\right);\overrightarrow{OD}=\left(0;0;4\right);\overrightarrow{CB}=\left(2;0;0\right);\overrightarrow{CD}=\left(0;-4;4\right)\)

Do đó \(\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OD}=0\) và \(\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}=0\Rightarrow\widehat{BOD}=\widehat{BCD}=90^0\)

Suy ra mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, C, D có tâm I là trung điểm của BD, bán kính R=OI

Ta có \(I\left(1;2;2\right);R=OI=\sqrt{1+2^2+2^2}=3\)

Do đó mặt cầu (S) có phương trình : \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-2\right)^2=9\)

b

\(\overrightarrow{AB}=\left(-1;-2;1\right)\); \(\overrightarrow{n_{\alpha}}=\left(2;-1;2\right)\)\(\Rightarrow\overrightarrow{n_p}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_{\alpha}}\right]=\left(-3;4;5\right)\)

Phương trình mặt phẳng (P) : \(-3x+4y+5z=0\)

\(R=d\left(A;\left(\alpha\right)\right)=\frac{\left|6-1+2+1\right|}{\sqrt{9}}=\frac{8}{3}\)

Phương trình mặt cầu (S) : \(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=\frac{64}{9}\)

Vì mặt phẳng (P) vuông góc với Ox nên (P) nhận vecto chỉ phương đơn vị \(\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)\) của Ox làm vecto pháp tuyến. Do đó \(\left(P\right)\) có phương trình :

\(1.\left(x-1\right)+0\left(y-2\right)+0\left(z-3\right)=0\)

hay \(x-1=0\)

Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left(4;4;4\right)=4\left(1;1;1\right)\)

Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Khi đó, (P) đi qua trung điểm M của AB và nhận vecto \(\overrightarrow{n}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\) làm vecto pháp tuyến. Do M là trung điểm AB nên M(3;4;5).

Khi đó , mặt phẳng (P) cần tìm có phương trình :

\(1\left(x-3\right)+1\left(y-4\right)+1\left(z-5\right)=0\)

hay \(x+y+z-12=0\)

Giả sử mặt phẳng (P) cần tìm có phương trình dạng :

                            \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)

với \(abc\ne0\) thỏa mãn

                             \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1\)  (1)

Do (P) đi qua M và \(\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|\)   (2)

(Do (P) chắn trên 3 trục tọa độ các đoạn thẳng có độ dài bằng nhau)

Từ (2) suy ra hoặc \(a=b=c\) hoặc \(a=-b=c\) hoặc \(a=b=-c\) hoặc \(b=c=-a\)

* Nếu \(a=b=c\), thay vào (1) ta được \(\frac{1}{a}+\frac{2}{a}+\frac{3}{a}=1\Leftrightarrow a=6\) do đó phương trình mặt phẳng (P) : \(\frac{x}{6}+\frac{y}{6}+\frac{z}{6}=1\) hay \(x+y+z-6=0\)

* Nếu \(a=-b=c\), thay vào (1) ta được \(\frac{1}{a}-\frac{2}{a}+\frac{3}{a}=1\Leftrightarrow a=2\) do đó phương trình mặt phẳng (P) : \(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=1\) hay \(x-y+z-2=0\)

* Nếu \(a=b=-c\), thay vào (1) ta được \(\frac{1}{a}+\frac{2}{a}-\frac{3}{a}=1\Leftrightarrow\) Vô nghiệm

* Nếu \(b=c=-a\), thay vào (1) ta được \(\frac{1}{a}-\frac{2}{a}-\frac{3}{a}=1\Leftrightarrow a=-4\) do đó phương trình mặt phẳng (P) : \(\frac{x}{-4}-\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1\) hay \(-x+y+z-4=0\)

Vậy qua điểm \(M\left(1;2;3\right)\) có 3 mặt phẳng tọa độ yêu cầu, đó là:

\(\left(P_1\right):x+y+z-6=0\) chắn trên 3 trục tọa độ các đoạn có độ dài bằng 6

\(\left(P_2\right):x-y+z-2=0\) chắn trên 3 trục tọa độ các đoạn có độ dài bằng 2

\(\left(P_3\right):-x+y+z-4=0\)chắn trên 3 trục tọa độ các đoạn có độ dài bằng 4

Giả sử A(a;0;0); B(0;b;0) và C(0;0;c) với \(abc\ne0\). Khi đó, mặt phẳng (P) có phươn trình :

                                                 \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)

Do \(G\left(1;2;3\right)\in\left(P\right)\) nên 

                                                  \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1\) (1)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên :

\(\begin{cases}1=\frac{a+0+0}{3}\\2=\frac{0+b+0}{3}\\3=\frac{0+0+c}{3}\end{cases}\)

Dễ dàng kiểm tra được \(a=3;b=6;c=9\) thỏa mãn (1). Vậy mặt phẳng cần tìm là   \(\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1\)

hay    \(6x+3y+2z-18=0\)