1.M(1,2,1) ,Viết ptmp (P) qua M cắt Ox Oy Oz lần lượt tại A B C sao cho (1/OA^2 +1/OB^2 + 1/OC^2) min
1.M(1,2,1) ,Viết ptmp (P) qua M cắt Ox Oy Oz lần lượt tại A B C sao cho (1/OA^2 +1/OB^2 + 1/OC^2) min
Lời giải:
Giả sử \(A=(a,0,0); B=(0,b,0); C=(0,0,c)\)
Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) (đây là dạng PTMP theo đoạn chắn rất quen thuộc)
Vì \(M\in (P)\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1(*)\)
Ta có:
\(A=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky có:
\(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)(1+2^2+1)\geq \left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow 6A\geq 1\Leftrightarrow A\geq \frac{1}{6}\). Điểm "min" xảy ra khi : \(\frac{1}{a}=\frac{1}{2b}=\frac{1}{c}\)
Đặt \(\frac{1}{a}=\frac{1}{2b}=\frac{1}{c}=t\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{t}\\ b=\frac{1}{2t}\\ c=\frac{1}{t}\end{matrix}\right.\). Thay vào \((*)\Rightarrow t=\frac{1}{6}\)
Thay vào ptmp ban đầu suy ra ptmp (P) là:
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Leftrightarrow xt+2yt+zt=1\)
\(\Leftrightarrow \frac{x}{6}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=1\) hay \(x+2y+z-6=0\)
viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A ( 1;-2;3) và vuông góc với hai đường thẳng :
d1:x=1+2t, y=2-2t, z=-1
d2: 3x+2y-10=0 , z-4=0
coó bao nhiêu mặt phẳng đi qua M(1;2;3) và tạo với mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) có một góc bằng 45 độ
lập pt mặt phẳng qua A(2 ;-1;3) B(0;4;1)và song song vs OZ
Lời giải:
Gọi mặt phẳng cần tìm là \((P)\)
Vì \((P)\parallel Oz\Rightarrow \overrightarrow {n_P}\perp \overrightarrow {Oz}\). Ta cũng tính được \(\overrightarrow {AB}=(-2,5,-2)\)
Biết rằng vecto chỉ phương của \(Oz\) là \((0,0,1)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {Oz}]=(5,2,0)\)
Do đó PTMP \((P): 5x+2(y-4)+0(z-1)=0\)
\(\Leftrightarrow 5x+2y-8=0\)
Gọi A1,A2,A3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A=(-1;2;3) lên các mặt phẳng (oxy),(oxz),(oyz) phương trình mặt phẳng(A1A2A3) là?
Lời giải:
Vì \(A_1,A_2,A_3 \) là hình chiếu của \(A\) lên các mặt phẳng tọa độ nên :
\(\left\{\begin{matrix} A_1=(-1,2,0)\\ A_2=(-1,0,3)\\ A_3=(0,2,3)\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow {A_1A_2}=(0,-2,3)\\ \overrightarrow {A_1A_3}=(1,0,3)\\ \end{matrix}\right.\)
Vector pháp tuyến của \((A_1A_2A_3):\overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow {A_1A_2},\overrightarrow {A_1A_3}]=(-6,3,2)\)
Suy ra PTMP:
\(-6(x-0)+3(y-2)+2(z-3)=0\Leftrightarrow -6x+3y+2z-12=0\)
1)cho d: \(\frac{x-7}{7}=\frac{y-5}{5}=\frac{z}{3}\) và d': \(\left\{\begin{matrix}x=2t\\y=-t\\z=2-3t\end{matrix}\right.\)
cho hai điểm A,B di dộng trên d sao cho AB=3, C,D di động trên d' sao cho CD=4. tính thể tích tứ diện ABCD
2) cho đường thẳng \(d_k\): \(\frac{x-3}{k+1}=\frac{y+1}{2k+3}=\frac{z+1}{1-k}\)
CMR \(d_k\)luôn nằm trong 1 mp cố định. Viết PTMP đó
Xác điịnh k để \(d_k\)song vs 2 mp 6x-y-3z-13=0 và x-y+2z-3=0
Câu 2)
Giả sử tồn tại MP cố định đó. Gọi PTMP mà \((d_k)\) luôn đi qua là
\((P):a(x-3)+b(y+1)+c(z+1)=0\) $(1)$
Ta chỉ cần xác định được \(a,b,c\) nghĩa là đã chứng minh được sự tồn tại của mặt phẳng cố định đó.
Vì \(d_k\in (P)\forall k\Rightarrow \overrightarrow{u_{d_k}}\perp \overrightarrow {n_P}\)
\(\Rightarrow a(k+1)+b(2k+3)+c(1-k)=0\) với mọi $k$
\(\Leftrightarrow k(a+2b-c)+(a+3b+c)=0\) với mọi $k$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+2b-c=0\\ a+3b+c=0\end{matrix}\right.\)
Từ đây ta suy ra \(a=\frac{-5b}{2}\) và \(c=\frac{-b}{2}\)
Thay vào \((1)\) và triệt tiêu \(b\) (\(b\neq 0\) bởi vì nếu không thì \(a=c=0\) mặt phẳng không xác định được)
\(\Rightarrow (P): -5x+2y-z+16=0\)
\((d_k)\parallel (6x-y-3z-13=0(1),x-y+2z-3=0(2))\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {u_{d_k}}\perp \overrightarrow {n_1},\overrightarrow{n_2}\)\(\Rightarrow \overrightarrow{u_{d_k}}\parallel[\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}]\)
Mà \(\overrightarrow{n_1}=(6,-1,-3);\overrightarrow{n_2}=(1,-1,2)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{u_{d_k}}\parallel(-5,-15,-5)\) hay \(\frac{k+1}{-5}=\frac{2k+3}{-15}=\frac{1-k}{-5}\Rightarrow k=0\)
Câu 1 mình đặt ẩn nhưng dài quá nhác viết, với lại mình thấy nó không hay và hiệu quả. Mình nghĩ với cách cho giá trị AB,CD cụ thể thế kia thì chắc chắn có cách nhanh gọn hơn. Nếu bạn có lời giải rồi thì post lên cho mình xem ké với.
1)cho d: \(\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{1}\) và d' : \(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{1}\). viết PT mặt phẳng (P) vuông góc với d và cắt Oz tại A, d' tại B sao cho AB nhỏ nhất
2) cho(P) : 3x-4y+z-1=0 và hai điểm A(1;-1;2), B(3;0;1). tìm M trên (P) sao cho MA+MB nhỏ nhất
Bài 1:
Gọi tọa độ của \(A=(0,0,a)\) và \(B=(m,n,p)\)
Vì $(P)$ vuông góc với $(d)$ nên \(\overrightarrow {n_P}=\overrightarrow {u_d}=(2,-1,1)\) kết hợp với $(P)$ chứa $A$ nên PTMP: \((P):2x-y+z-a=0\)
Ta có \(B\in (P)\Rightarrow 2m-n+p-a=0(1)\)
Mặt khác \(B\in (d')\Rightarrow \frac{m-1}{1}=\frac{n}{2}=\frac{p+2}{1}=t\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m=t+1\\ n=2t\\ p=t-2\end{matrix}\right.\)
Thay vào $(1)$ ta thu được $t=a$
\(\Rightarrow AB=\sqrt{m^2+n^2+(p-a)^2}=\sqrt{(a+1)^2+(2a)^2+4}=\sqrt{5a^2+2a+5}\geq \frac{2\sqrt{30}}{5}\Leftrightarrow a=\frac{-1}{5}\)
Có nghĩa là để $AB$ min thì $a=\frac{-1}{5}$
Vậy PTMP: \(2x-y+z-\frac{1}{5}=0\)
Câu 2:
Thay toạ độ $A$ và $B$ vào $(P)$ có \([3.1-4(-1)+2-1](3.3-4.0+1-1)>0\) nên $A,B$ cùng phía so với $(P)$
Lấy $A'$ đối xứng với $A$ qua $(P)$ \(\Rightarrow MA=MA'\Rightarrow MA+MB=MA'+MB\geq A'B\)
Do đó \((MA+MB)_{\min}\Leftrightarrow A',M,B\) thẳng hàng
Biểu thị $(d)$ là đường thẳng chứa đoạn $AA'$.
Hiển nhiên \((d)\perp (P)\Rightarrow \overrightarrow{u_d}=\overrightarrow {n_P}=(3,-4,1)\)
Kết hợp với $A\in (d)$ nên \(d:\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z-2}{1}=t\)
Khi đó gọi \(H\equiv AA'\cap (P)\). Dễ có \(H=(\frac{1}{13},\frac{3}{13},\frac{22}{13})\)
Lại có $H$ là trung điểm của $AA'$ nên tọa độ của $A'$ là
\(\left\{\begin{matrix} x_{A'}=2x_H-x_A=\frac{-11}{13}\\ y_{A'}=2y_H-y_A=\frac{19}{13}\\ z_{A'}=2z_H-z_A=\frac{18}{13}\end{matrix}\right.\)
Khi đó ta dễ dàng viết được PTĐT chứa $A'B$ là \(\frac{13(x-3)}{50}=\frac{13y}{19}=\frac{13(z-1)}{5}\)
Tọa độ của $M$ là nghiệm của hệ
\(\left\{\begin{matrix} \frac{13(x-3)}{50}=\frac{13y}{19}=\frac{13(z-1)}{5}\\ 3x-4y+z-1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow M(\frac{-213}{79},\frac{-171}{79},\frac{34}{79})\)
.
viêt phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(2;1;-1) sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) lớn nhất. (O là gốc tọa độ)
Lời giải
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ xuống mặt phẳng $(P)$
Khi đó, hiển nhiên tam giác $HOA$ là tam giác vuông tại $H$
\(\Rightarrow d(O,(P))=OH\leq OA\). Do đó để khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(P)$ là lớn nhất thì \(H\equiv A\) \(\Rightarrow \overrightarrow{OA}\perp (P)\)
Gọi \(\overrightarrow {n_P}\) là vector pháp tuyến của $(P)$. Ta có ngay\(\overrightarrow {n_P}=\overrightarrow {OA}=(2;1;-1)\)
Vậy ta có PTMP $(P)$ là: \(2(x-2)+y-1-1(z+1)=0\Leftrightarrow 2x+y-z-6=0\)
cho mặt phẳng (P) : 2x-y-2z+5=0 . Viết ptmp (Q) chứa Oz tạo với (P) 1 góc 45 độ
cho 2 đường thẳng (d1), (d2) chéo nhau. viết pt mặt phẳng (p), (q) song song với nhau và lần lượt chứa (d1) và (d2). chỉ mình cách viết với ạ
2 mp (P) và (Q) // với nhau.→vecto pháp tuyến của mp này cũng là vecto pt của mặt phẳng kia, tìm vecto pt của một trong hai mặt phẳng bằng cách tìm đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng d1 và d2.