Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;-1); B(3;4;1) và C(4;1;-1). Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB. Tìm tọa độ điểm M trên trục Oz sao cho thể tích khối tứ diện MABC =5

Answer 1

Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I là trung điểm của AB, với I(2;3;0)

Bán kính của (S) là \(R=\frac{AB}{2}=\sqrt{3}\)

Phương trình của (S) : \(\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2+z^2=3\)

Gọi \(M\left(0;0;t\right)\in Oz\)

Do \(V_{MABC}=5\) nên \(\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\overrightarrow{AM}\right|=5\Leftrightarrow\left|11+4t\right|=5\)

                                                                     \(\Leftrightarrow\left|11=4t\right|=15\Leftrightarrow\begin{cases}11+4t=15\\11+4t=-15\end{cases}\)

                                                                     \(\Leftrightarrow\begin{cases}t=1\Rightarrow M\left(0;0;1\right)\\t=-\frac{13}{2}\Rightarrow M\left(0;0;-\frac{13}{2}\right)\end{cases}\)