Bài 6. Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

\(ABB'A'\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AA' \bot AB\)

\(ACC'A'\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AA' \bot AC\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow AA' \bot \left( {ABC} \right)\\AA'\parallel BB'\parallel CC'\end{array} \right\} \Rightarrow BB' \bot \left( {ABC} \right),CC' \bot \left( {ABC} \right)\)

Vậy các cạnh bên của lăng trụ đó vuông góc với các mặt đáy.

ΔABC vuông tại B

=>\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)

ΔA'AC vuông tại A

=>\(A'C=\sqrt{A'A^2+AC^2}=a\sqrt{3}\)

=>Độ dài đường chéo là \(a\sqrt{3}\)

a: Tứ giác đó là hình vuông

b: Các cạnh bên của hình chóp đó bằng nhau

Gọi \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\\ \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA,OA} \right) = \widehat {SAO},\\\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,OB} \right) = \widehat {SBO},\\\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,OC} \right) = \widehat {SCO}\end{array}\)

Tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow OA = OB = OC\).

\(\begin{array}{l}SA = SB = SC \Rightarrow \frac{{OA}}{{SA}} = \frac{{OB}}{{SB}} = \frac{{OC}}{{SC}} \Rightarrow \cos \widehat {SAO} = \cos \widehat {SBO} = {\mathop{\rm co}\nolimits} \widehat {sSCO}\\ \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right)\end{array}\)

Các đường thẳng này sẽ đồng quy tại 1 điểm.

\(A'\) là trung điểm của \(SA\)

\(B'\) là trung điểm của \(SB\)

\( \Rightarrow A'B'\) là đường trung bình của \(\Delta SAB\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow A'B'\parallel AB\\AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A'B'\parallel \left( {ABC} \right)\)

\(A'\) là trung điểm của \(SA\)

\(C'\) là trung điểm của \(SC\)

\( \Rightarrow A'C'\) là đường trung bình của \(\Delta SAC\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow A'C'\parallel AC\\AC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A'C'\parallel \left( {ABC} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}A'B'\parallel \left( {ABC} \right)\\A'C'\parallel \left( {ABC} \right)\\A'B',A'C' \subset \left( {A'B'C'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {A'B'C'} \right)\parallel \left( {ABC} \right)\)

Vậy phần hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) là hình chóp cụt đều.

Thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác, khối lăng trụ đứng tứ giác bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

V = B.h với B là diện tích đáy, h là chiều cao khối lăng trụ.

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\)

\(AH = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)

\(\Delta AA'H\) vuông tại \(H\)\( \Rightarrow A'H = \sqrt {AA{'^2} - A{H^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\{V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.A'H = \frac{{3{a^3}}}{8}\end{array}\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\)

Tam giác \(ABC\) đều

\( \Rightarrow AM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Tam giác \(SAO\) vuông tại \(O \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\end{array}\)

Diện tích đáy lớn là: \(S = A{B^2} = {3^2} = 9\)

Diện tích đáy bé là: \(S' = {2^2} = 4\)

Thể tích hình chóp cụt là:

\(V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'}  + S'} \right) = \frac{1}{3}.4\left( {9 + \sqrt {9.4}  + 4} \right) = \frac{{76}}{3} \approx 25,3\left( {d{m^3}} \right)\)