Bài tập cuối chương 4

Hướng dẫn giải

Vì \(\left( {\frac{{ - 1}}{2}\cos 2x} \right)' = \sin 2x\) nên hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{2}\cos 2x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\).

Chọn D

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\int {2{e^x}} dx = 2\int {{e^x}} dx = 2{e^x} + C\)

Chọn D.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} - 3{e^{ - x}}} \right)dx}  = \int {{e^x}dx}  - 3\int {{{\left( {\frac{1}{e}} \right)}^x}} dx = {e^x} + 3{e^{ - x}} + C\)

Lại có: \(F\left( 0 \right) = 4\) nên \({e^0} + 3{e^0} + C = 4\) nên \(C = 0\). Vậy \(F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ - x}}\)

Chọn C

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Vì \(\int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx}  = 4\) nên \(f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right) = 4\), suy ra: \(f\left( 3 \right) = 4 + f\left( 1 \right) = 4 + 16 = 20\)

Chọn A

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng cần tính là:

\(\int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 2x + {x^2} - 4x} \right|dx}  = \int\limits_0^3 {\left| {2{x^2} - 6x} \right|dx}  = \int\limits_0^3 {\left( { - 2{x^2} + 6x} \right)dx = \left( { - \frac{{2{x^3}}}{3} + 3{x^2}} \right)} \left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right.\)

\( =  - \frac{{{{2.3}^3}}}{3} + {3.3^2} = 9\)

Chọn B

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Diện tích phần được tô màu là: \( - \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  = \frac{{22}}{{15}} + \frac{{22}}{{15}} + \frac{{76}}{{15}} = 8\)

Chọn A

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {1 - {x^2}} \), trục hoành và hai đường thẳng \(x =  - 1,x = 1\)là:

_.\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - {x^2}} \right)dx = \pi \left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\ - 1\end{array} \right.}  = \pi \left( {1 - \frac{1}{3} - \left( { - 1} \right) + \frac{{ - 1}}{3}} \right) = \frac{{4\pi }}{3}\)_.

Chọn D

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}  = \int {\left( {3{t^2} + t} \right)dt}  = {t^3} + \frac{{{t^2}}}{2} + C\)

Vì vận tốc ban đầu của vật là 2m/s nên: \({0^3} + \frac{{{0^2}}}{2} + C = 2\), do đó, \(C = 2\)

Suy ra: \(v\left( t \right) = {t^3} + \frac{{{t^2}}}{2} + 2\).

Vận tốc của vật đó sau 2 giây là: \(v\left( 2 \right) = {2^3} + \frac{{{2^2}}}{2} + 2 = 12\left( {m/s} \right)\)

Chọn C

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(\int {\left( {{2^x} - \frac{1}{x}} \right)dx}  = \int {{2^x}dx}  - \int {\frac{1}{x}dx}  = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \ln \left| x \right| + C\)

b) \(\int {\left( {x\sqrt x  + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}  = \int {{x^{\frac{3}{2}}}dx}  + 3\int {\cos x - 2\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} } \)

\( = \frac{{2{x^2}\sqrt x }}{5} + 3\sin x + 2\cot x + C\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\int {\left( {2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}  = 2\int {\cos x + \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = 2\sin x - \cot x + C} } \)

Vì \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) =  - 1\) nên \(2\sin \frac{\pi }{4} - \cot \frac{\pi }{4} + C =  - 1\), suy ra \(C =  - \sqrt 2 \)

Do đó, \(F\left( x \right) = 2\sin x - \cot x - \sqrt 2 \).

(Trả lời bởi datcoder)