Question

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left(x\right)=2\cos x+\dfrac{1}{\sin^2x}\) thỏa mãn điều kiện \(F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-1\)..

Answer 1

Ta có: \(\int {\left( {2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}  = 2\int {\cos x + \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = 2\sin x - \cot x + C} } \)

Vì \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) =  - 1\) nên \(2\sin \frac{\pi }{4} - \cot \frac{\pi }{4} + C =  - 1\), suy ra \(C =  - \sqrt 2 \)

Do đó, \(F\left( x \right) = 2\sin x - \cot x - \sqrt 2 \).